Finding a percentage of a number is one of the most fundamental numerical operations. To find X% of Y, multiply Y by X and divide by 100, or equivalently, multiply Y by the decimal form of X (X/100). This skill is essential for calculating discounts, tips, taxes, and portions.

X% of Y = Y × (X/100) = Y × 0.0X

What is 25% of 80? → 80 × 0.25 = 20
What is 15% of 200? → 200 × 0.15 = 30
What is 40% of 150? → 150 × 0.40 = 60

Cómo reconocerlo

Look for 'what is X% of Y' phrasing
Convert the percentage to decimal (divide by 100)
Multiply the base number by the decimal

Errores comunes

Forgetting to divide the percentage by 100
Multiplying by the percentage directly (25 instead of 0.25)
Confusing 'of' with 'off' (discount calculations)

Resolución paso a paso

¿Cuánto es el 15% de 80?

Convierte el porcentaje a decimal: 15/100 = 0.15
Multiplica el número base por el decimal: 80 x 0.15
Calcula: 80 x 0.15 = 12

Respuesta: 12

Aprender 2

Porcentaje Inverso

Encontrar el valor original antes de que se aplicara un cambio porcentual.

Reverse percentage problems ask you to work backwards from a final value to find the original. If something increased by X%, the final value equals the original times (1 + X/100). To find the original, divide the final value by this multiplier. This is trickier than forward percentages because you can't simply subtract the percentage.

If Final = Original × (1 + X/100), then Original = Final ÷ (1 + X/100)

After a 20% increase, a price is $120. Original = $120 ÷ 1.20 = $100
After a 25% discount, a price is $60. Original = $60 ÷ 0.75 = $80
After a 10% raise, salary is $55,000. Original = $55,000 ÷ 1.10 = $50,000

Cómo reconocerlo

You're given the final value after a percentage change
You need to find what the value was before the change
Keywords: 'original price', 'was before', 'started at'

Errores comunes

Subtracting the percentage from the final (e.g., $120 - 20% = $96, wrong!)
Using the wrong multiplier (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)
Confusing increase (multiply by >1) with decrease (multiply by <1)

Resolución paso a paso

Después de un aumento del 25%, un precio es $150. ¿Cuál era el precio original?

Identifica el multiplicador para un aumento del 25%: 1 + 25/100 = 1.25
Plantea la ecuación: Original x 1.25 = $150
Divide el valor final por el multiplicador: $150 / 1.25
Calcula: $150 / 1.25 = $120

Respuesta: $120

Aprender 3

Variación Porcentual

Calcular el resultado después de aumentar o disminuir un valor en un porcentaje.

Percentage change problems involve applying an increase or decrease to a starting value. For an increase of X%, multiply by (1 + X/100). For a decrease of X%, multiply by (1 - X/100). This is more direct than reverse percentage since you're moving forward from the original to the final value.

Increase: Final = Original × (1 + X/100). Decrease: Final = Original × (1 - X/100)

100 increased by 20% = 100 × 1.20 = 120
80 decreased by 25% = 80 × 0.75 = 60
150 increased by 10% = 150 × 1.10 = 165

Cómo reconocerlo

Given a starting value and a percentage change
Asked for the new/final value
Keywords: 'increases by', 'decreases by', 'goes up', 'goes down'

Errores comunes

Adding/subtracting the percentage instead of using a multiplier
Confusing 'increased by 20%' with 'increased to 120%'
Using the wrong direction (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)

Resolución paso a paso

Una camisa cuesta $60. Se rebaja un 30%. ¿Cuál es el precio de oferta?

Identifica esto como una disminución porcentual: 30% de descuento
Calcula el multiplicador: 1 - 30/100 = 0.70
Multiplica el precio original por el multiplicador: $60 x 0.70
Calcula: $60 x 0.70 = $42

Respuesta: $42

Aprender 4

Razón Simple

Encontrar valores desconocidos cuando dos cantidades están en una razón dada.

Ratio problems express a relationship between two quantities. If A:B = 2:3 and you know A=10, you can find B by first finding the multiplier (10÷2=5) and then applying it to the other part (3×5=15). The ratio tells you the relative sizes, and the multiplier scales it to actual values.

If A:B = m:n and A = x, then B = x × (n/m)

If A:B = 2:3 and A = 10, then B = 10 × (3/2) = 15
If X:Y = 3:4 and Y = 20, then X = 20 × (3/4) = 15
If P:Q = 5:2 and P = 35, then Q = 35 × (2/5) = 14

Cómo reconocerlo

Two quantities described as 'in the ratio' of X:Y
One value is given, the other is unknown
Find the multiplier by dividing the known value by its ratio part

Errores comunes

Dividing by the wrong ratio part
Confusing which value corresponds to which part of the ratio
Adding/subtracting instead of multiplying

Resolución paso a paso

La proporción de chicos a chicas en una clase es 3:5. Si hay 12 chicos, ¿cuántas chicas hay?

Identifica las partes de la proporción: chicos = 3, chicas = 5
Encuentra el multiplicador: 12 chicos / 3 partes = 4
Aplica el multiplicador para chicas: 5 partes x 4
Calcula: 5 x 4 = 20 chicas

Respuesta: 20 girls

Aprender 5

División por Razón

Dividir un monto total según una razón dada.

Ratio division problems ask you to split a total into parts according to a ratio. First, add the ratio parts to find the total number of 'shares'. Then divide the total amount by this number to find the value of one share. Finally, multiply by each ratio part to get the actual amounts.

Total T split in ratio a:b → Part A = T × a/(a+b), Part B = T × b/(a+b)

Split $100 in ratio 3:2 → Shares = 5, each share = $20 → Parts are $60 and $40
Divide 45 items in ratio 4:5 → Shares = 9, each = 5 → Parts are 20 and 25
Split 120 in ratio 1:2:3 → Shares = 6, each = 20 → Parts are 20, 40, and 60

Cómo reconocerlo

A total amount needs to be divided
The division follows a specified ratio
Add ratio parts first to find total shares

Errores comunes

Forgetting to add ratio parts to find total shares
Dividing by only one ratio part instead of the sum
Mixing up which part corresponds to which share

Resolución paso a paso

Divide $180 entre dos personas en la proporción 2:7.

Suma las partes de la proporción: 2 + 7 = 9
Encuentra el valor de cada parte: $180 / 9 = $20
Calcula la parte de la primera persona: 2 x $20 = $40
Calcula la parte de la segunda persona: 7 x $20 = $140

Respuesta: $40 and $140

Aprender 6

Problemas de Rendimiento

Calcular el tiempo o los trabajadores necesarios cuando el trabajo total permanece constante.

Work rate problems are based on the formula: Work = Rate × Time, or equivalently, Work = Workers × Days. If the total work is constant, increasing workers decreases time proportionally. The key insight is that 'worker-days' (or 'machine-hours') represents the total work, and this stays the same regardless of how many workers do the job.

Total Work = Workers × Time. If W1 × T1 = W2 × T2, then T2 = (W1 × T1) / W2

4 workers in 12 days = 48 worker-days. 6 workers = 48 ÷ 6 = 8 days
3 machines in 10 hours = 30 machine-hours. 5 machines = 30 ÷ 5 = 6 hours
2 people in 15 days = 30 person-days. 5 people = 30 ÷ 5 = 6 days

Cómo reconocerlo

Problem mentions workers/machines and time to complete a job
Asks how long with different number of workers
Total work (job size) remains constant

Errores comunes

Thinking more workers means more time (it's inverse)
Adding workers instead of multiplying
Forgetting that work = workers × time

Resolución paso a paso

5 trabajadores completan un proyecto en 12 días. ¿Cuántos días tardarían 10 trabajadores?

Calcula el trabajo total: 5 trabajadores x 12 días = 60 días-trabajador
El trabajo total permanece constante en 60 días-trabajador
Divide el trabajo total entre el nuevo número de trabajadores: 60 / 10
Calcula: 60 / 10 = 6 días

Respuesta: 6 days

Aprender 7

Cálculo de Beneficio

Calcular beneficio, precio de coste o precio de venta a partir de valores dados.

Profit calculations involve three key values: cost price (what you paid), selling price (what you sold for), and profit (the difference). Profit = Selling Price - Cost Price. Profit margin as a percentage is calculated relative to the cost price: Profit % = (Profit / Cost) × 100.

Profit = Selling Price - Cost Price. Profit % = (Profit / Cost) × 100

Buy at $80, sell at $100 → Profit = $20, Margin = 20/80 × 100 = 25%
Cost $50, 40% markup → Selling = $50 × 1.40 = $70, Profit = $20
Sold at $90 with $18 profit → Cost = $90 - $18 = $72

Cómo reconocerlo

Problem mentions cost, selling price, or profit
May ask for profit amount or profit percentage
Markup problems are percentage-based profit calculations

Errores comunes

Confusing profit margin with markup
Calculating percentage based on selling price instead of cost
Mixing up which value to subtract from which

Resolución paso a paso

Una tienda compra un artículo por $60 y lo vende por $75. ¿Cuál es el porcentaje de margen de beneficio?

Calcula el beneficio: Precio de venta - Precio de coste = $75 - $60 = $15
Divide el beneficio por el precio de coste: $15 / $60
Convierte a porcentaje: ($15 / $60) x 100
Calcula: 0.25 x 100 = 25%

Respuesta: 25%

Aprender 8

Porcentaje Compuesto

Calcular el resultado de aplicar múltiples cambios porcentuales en secuencia.

Compound percentage problems involve applying multiple percentage changes one after another. Each change is applied to the result of the previous change, not the original value. A 10% increase followed by a 10% increase is NOT a 20% total increase—it's 1.10 × 1.10 = 1.21, or 21%.

After changes of X% then Y%: Final = Original × (1 + X/100) × (1 + Y/100)

100 increased by 10% then 20%: 100 × 1.10 × 1.20 = 132 (not 130)
200 up 25% then down 20%: 200 × 1.25 × 0.80 = 200 (back to start)
Price up 50% then down 50%: Not zero! 100 × 1.50 × 0.50 = 75

Cómo reconocerlo

Multiple percentage changes applied in sequence
Each change applies to the result of the previous
Keywords: 'then', 'followed by', 'successive'

Errores comunes

Adding percentages together (10% + 20% = 30%, wrong!)
Thinking opposite changes cancel out (up 50%, down 50% ≠ original)
Applying both percentages to the original value

Resolución paso a paso

Un precio de $200 aumenta un 20%, luego disminuye un 10%. ¿Cuál es el precio final?

Calcula el multiplicador para aumento del 20%: 1 + 0.20 = 1.20
Calcula el multiplicador para disminución del 10%: 1 - 0.10 = 0.90
Aplica ambos multiplicadores en secuencia: $200 x 1.20 x 0.90
Calcula paso a paso: $200 x 1.20 = $240, luego $240 x 0.90 = $216

Respuesta: $216

Aprender 9

Tasas Combinadas

Calcular cuánto tardan las tareas cuando múltiples trabajadores o máquinas trabajan juntos.

When multiple workers or machines work together, their rates add up. If Machine A produces 5 units/hour and Machine B produces 3 units/hour, together they produce 8 units/hour. To find time for a task, divide the total work by the combined rate. This also applies to pipes filling tanks or people completing tasks.

Combined Rate = Rate A + Rate B. Time = Total Work / Combined Rate

A makes 4/hr, B makes 6/hr → Together 10/hr → 50 units take 5 hours
Pipe A fills in 6 hrs, B in 3 hrs → Rates: 1/6 + 1/3 = 1/2 → Together: 2 hours
Worker A: 8 items/day, B: 12 items/day → 100 items = 100/20 = 5 days together

Cómo reconocerlo

Multiple workers/machines working simultaneously
Individual rates are given (units per time)
Asked for time when working together

Errores comunes

Averaging rates instead of adding them
Adding times instead of rates (if A takes 2hr and B takes 3hr, together is NOT 5hr)
Forgetting to convert to consistent rate units

Resolución paso a paso

El tubo A llena un tanque en 4 horas. El tubo B en 6 horas. ¿Cuánto tardan juntos?

Calcula la tasa del tubo A: 1 tanque / 4 horas = 1/4 por hora
Calcula la tasa del tubo B: 1 tanque / 6 horas = 1/6 por hora
Suma las tasas: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 por hora
Calcula el tiempo: 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 horas

Respuesta: 2.4 hours (or 2 hours 24 minutes)

Aprender 10

Promedio con un Valor Faltante

Dada una media objetivo y todos los valores excepto uno, resolver para el valor faltante.

Si la media aritmética de n valores debe ser M, la suma total debe ser n · M. Para hallar un valor faltante, calcula el total requerido y resta la suma de los valores conocidos: faltante = n · M − Σ(conocidos). Se aplica cuando un valor es desconocido y se da una media objetivo.

faltante = n · M − Σ(valores conocidos)

Cuatro exámenes promedian 80; tres son 75, 82, 78 → faltante = 320 − 235 = 85
Ventas de cinco meses promedian $10.000; cuatro suman $38.500 → faltante = $11.500
Seis medidas promedian 12,5; cinco suman 70 → faltante = 5

Cómo reconocerlo

Se da una media pero falta un valor
Palabras clave: 'promedio objetivo', 'debe promediar'
El número total n es conocido

Errores comunes

Olvidar multiplicar la media por n
Restar al revés
Usar n − 1 en lugar de n

Aprender 11

Combinaciones

El número de maneras de elegir k elementos de n sin importar el orden.

El número de combinaciones C(n, k) cuenta las selecciones no ordenadas de k elementos de un conjunto de n distintos. Es igual al coeficiente binomial n! / (k! · (n − k)!). A diferencia de las permutaciones: C(n, k) = P(n, k) / k!. Simetría: C(n, k) = C(n, n − k).

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

C(5, 2) = 10
C(10, 3) = 120
C(52, 5) = 2 598 960 (manos de póker)

Cómo reconocerlo

La pregunta es 'cuántas maneras' sin importar el orden
Palabras clave: 'elegir', 'seleccionar', 'comité', 'equipo'
Si reordenar los elegidos da la misma selección, usa combinaciones

Errores comunes

Usar permutaciones cuando el orden no importa
Olvidar el k! en el denominador
Confundir C(n, k) con n · k o n^k

Aprender 12

Interés Compuesto

Interés calculado sobre el capital y sobre los intereses previamente acumulados, con crecimiento geométrico.

El interés compuesto añade el interés al capital al final de cada período de capitalización, de modo que el siguiente período gana interés sobre la suma mayor. Con capital P, tasa anual r, n capitalizaciones por año y tiempo t en años: A = P · (1 + r/n)^(n·t). Para capitalización anual (n = 1): A = P · (1 + r)^t. Crecimiento geométrico.

A = P · (1 + r/n)^(n·t)

$1.000 al 5% anual durante 3 años → A ≈ $1.157,63
€500 al 4% capitalizado trimestralmente durante 2 años → A ≈ €541,43
$2.000 al 6% capitalizado mensualmente durante 1 año → A ≈ $2.123,36

Cómo reconocerlo

Palabras clave: 'compuesto', 'capitalizado mensualmente/anualmente'
El crecimiento se multiplica cada período
El saldo se acelera con el tiempo

Errores comunes

Usar interés simple cuando se pide compuesto
Olvidar dividir la tasa entre n (r/n)
Usar n en lugar de n·t en el exponente

Aprender 13

Conversión de Divisas

Convertir un importe de una moneda a otra multiplicando por el tipo de cambio.

Un tipo de cambio expresa cuánta moneda B se obtiene por unidad de moneda A. Para convertir un importe X de la moneda A a la B, multiplica por la tasa: X_B = X_A · tasa(A→B). La tasa inversa es 1 / tasa(A→B). Entre divisas sin cotización directa, usa un tipo cruzado: tasa(A→C) = tasa(A→B) · tasa(B→C).

X_B = X_A · tasa(A→B); tasa(B→A) = 1 / tasa(A→B)

100 USD a EUR con 1 USD = 0,85 EUR → 85 EUR
500 EUR a USD con 1 USD = 0,85 EUR → 500 / 0,85 ≈ 588,24 USD
USD → GBP vía EUR: 100 · 0,85 · 0,86 = 73 GBP

Cómo reconocerlo

El problema menciona divisas o tipos de cambio
Se da una tasa como '1 USD = 0,85 EUR'
A veces hay que invertir o encadenar tasas

Errores comunes

Invertir la dirección de la tasa
Multiplicar cuando se debe dividir
Redondear demasiado pronto

Aprender 14

Problema de Mezclas

Calcular la concentración de una mezcla combinada a partir de las concentraciones y cantidades de sus componentes.

Cuando se combinan dos soluciones con volúmenes V_1 y V_2 y concentraciones c_1 y c_2, la mezcla resultante tiene volumen V_1 + V_2 y concentración c_final = (c_1 · V_1 + c_2 · V_2) / (V_1 + V_2). Es una media ponderada por volumen. Se extiende a varios componentes de la misma manera.

c_final = Σ(c_i · V_i) / Σ V_i

2 L al 10% con 3 L al 20% → c = (0,10·2 + 0,20·3)/5 = 16%
500 g de aleación al 40% con 300 g al 60% → c ≈ 47,5%
Diluir 1 L al 25% con 3 L de agua → c = 6,25%

Cómo reconocerlo

Se combinan dos o más cantidades con concentraciones distintas
Palabras clave: 'mezcla', 'diluir', 'aleación', 'solución'
Se pide la concentración final o la cantidad necesaria

Errores comunes

Promediar concentraciones sin ponderar por volumen
Olvidar que agregar disolvente puro tiene concentración 0
Mezclar unidades

Aprender 15

Probabilidad

La verosimilitud de un evento, expresada como un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro).

Para un espacio muestral finito con resultados equiprobables, la probabilidad de un evento E es P(E) = |E| / |S|. Cumple los axiomas de Kolmogorov: 0 ≤ P(E) ≤ 1, P(espacio muestral) = 1 y para eventos mutuamente excluyentes P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Para eventos independientes, P(A y B) = P(A) · P(B). Regla del complemento: P(no E) = 1 − P(E).

P(E) = casos favorables / casos totales; 0 ≤ P(E) ≤ 1

Sacar un 6 con un dado → P = 1/6
Sacar un as de una baraja de 52 → P = 4/52 = 1/13
Dos caras consecutivas (moneda) → P = 1/4

Cómo reconocerlo

El problema pregunta por la probabilidad o la posibilidad
Se describe un espacio muestral equiprobable
Eventos con 'y' (multiplicar si independientes) o 'o' (sumar si disjuntos)

Errores comunes

Sumar probabilidades sin restar el solape
Multiplicar eventos no independientes
Olvidar la regla del complemento

Aprender 16

Interés Simple

Interés calculado únicamente sobre el capital inicial, que crece linealmente con el tiempo.

El interés simple se calcula como una tasa fija sobre el capital original cada período, sin capitalización. Si P es el capital, r la tasa anual (en decimal) y t el tiempo en años, el interés ganado es I = P · r · t y el monto final A = P · (1 + r · t). Crece linealmente con el tiempo.

I = P · r · t; A = P · (1 + r · t)

$1.000 al 5% durante 3 años → I = 1000 · 0,05 · 3 = $150; A = $1.150
€500 al 4% durante 2 años → I = €40; A = €540
£2.000 al 6% durante 6 meses (0,5 años) → I = £60

Cómo reconocerlo

El problema menciona 'interés simple'
El interés es igual cada período
La tasa se multiplica por el tiempo

Errores comunes

Usar la fórmula de interés compuesto
Olvidar convertir porcentajes a decimales (5% = 0,05)
Mezclar unidades de tiempo

Aprender 17

Velocidad, Distancia y Tiempo

Usar la relación velocidad = distancia ÷ tiempo para despejar cualquiera de las tres magnitudes.

Para movimiento a velocidad constante, las tres magnitudes distancia d, velocidad v y tiempo t están relacionadas por d = v · t, de donde v = d / t y t = d / v. Cuando la velocidad cambia por tramos, la velocidad media global es distancia total / tiempo total (no la media simple de las velocidades). Las unidades deben ser consistentes.

d = v · t; v = d / t; t = d / v; velocidad media = distancia total / tiempo total

Un coche que recorre 60 km en 1,5 h va a 40 km/h
Caminar 5 km a 4 km/h lleva 1,25 h
Tramo 1: 30 km a 60 km/h; tramo 2: 30 km a 30 km/h → media = 60 km / 1,5 h = 40 km/h

Cómo reconocerlo

El problema menciona distancia, velocidad o tiempo
Se pide calcular la tercera magnitud
Trayectos con varios tramos requieren total de distancia y tiempo

Errores comunes

Promediar velocidades directamente
Mezclar unidades
Calcular v = t / d

Aprender 18

Media Ponderada

Un promedio en el que cada valor contribuye según su peso, no por igual.

La media ponderada de valores x_1, ..., x_n con pesos w_1, ..., w_n es x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i. Cuando todos los pesos son iguales, se reduce a la media aritmética ordinaria. Es la herramienta correcta cuando los valores tienen diferente importancia, tamaño muestral o frecuencia.

x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i

Notas: clase A 80 (20 estudiantes), clase B 70 (30 estudiantes) → ponderada = (20·80 + 30·70)/50 = 74
Nota media: A (3 créditos), B (4 créditos), C (2 créditos)
Rendimiento de cartera: inversiones ponderadas por cantidad invertida

Cómo reconocerlo

Los valores tienen distinto tamaño muestral, importancia o frecuencia
Palabras clave: 'ponderada', 'por créditos', 'por unidad'
Pesos iguales → media ordinaria; desiguales → ponderada

Errores comunes

Calcular media simple cuando los pesos difieren
Olvidar dividir por la suma de pesos
Intercambiar valores y pesos

Ejemplos resueltos

Los ejemplos resueltos conservan el conjunto original en cada dificultad. Abre uno para comparar el enunciado, las opciones, la respuesta correcta y la explicación.

Ejemplo

Explicación

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