Motif Modulaire

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Suites dont les termes se répètent cycliquement selon l'arithmétique modulo un nombre fixe.

L'arithmétique modulaire partitionne les entiers en classes de résidus modulo n : a ≡ b (mod n) signifie que n divise (a − b). Un motif modulaire est une suite dont les valeurs parcourent cycliquement un ensemble fixe de résidus — par exemple, le chiffre des unités de n² parcourt 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, avec une période 10. La répétition cyclique est le signe d'une règle modulaire.

a_n = f(n) mod m

• n mod 3 : 0, 1, 2, 0, 1, 2, ...
• chiffre des unités de 2^n : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... (période 4)
• jours de la semaine : cycle de longueur 7

Comment le reconnaître

• Les valeurs se répètent avec une période fixe
• Toutes les valeurs sont dans un petit ensemble fini (0 à m−1)
• La règle fait intervenir restes, cycles ou horloge

Erreurs fréquentes

• Confondre longueur de période et module
• Supposer que le cycle commence à l'indice 0 alors qu'il y a un préfixe transitoire
• Utiliser m = 0 ou un module négatif

Conseils de pratique

Séquences Numériques