Finding a percentage of a number is one of the most fundamental numerical operations. To find X% of Y, multiply Y by X and divide by 100, or equivalently, multiply Y by the decimal form of X (X/100). This skill is essential for calculating discounts, tips, taxes, and portions.

X% of Y = Y × (X/100) = Y × 0.0X

What is 25% of 80? → 80 × 0.25 = 20
What is 15% of 200? → 200 × 0.15 = 30
What is 40% of 150? → 150 × 0.40 = 60

Comment le reconnaître

Look for 'what is X% of Y' phrasing
Convert the percentage to decimal (divide by 100)
Multiply the base number by the decimal

Erreurs fréquentes

Forgetting to divide the percentage by 100
Multiplying by the percentage directly (25 instead of 0.25)
Confusing 'of' with 'off' (discount calculations)

Résolution étape par étape

Combien font 15% de 80 ?

Convertissez le pourcentage en décimal : 15/100 = 0,15
Multipliez le nombre de base par le décimal : 80 x 0,15
Calculez : 80 x 0,15 = 12

Réponse: 12

Apprendre 2

Pourcentage Inverse

Trouver la valeur originale avant l'application d'un changement en pourcentage.

Reverse percentage problems ask you to work backwards from a final value to find the original. If something increased by X%, the final value equals the original times (1 + X/100). To find the original, divide the final value by this multiplier. This is trickier than forward percentages because you can't simply subtract the percentage.

If Final = Original × (1 + X/100), then Original = Final ÷ (1 + X/100)

After a 20% increase, a price is $120. Original = $120 ÷ 1.20 = $100
After a 25% discount, a price is $60. Original = $60 ÷ 0.75 = $80
After a 10% raise, salary is $55,000. Original = $55,000 ÷ 1.10 = $50,000

Comment le reconnaître

You're given the final value after a percentage change
You need to find what the value was before the change
Keywords: 'original price', 'was before', 'started at'

Erreurs fréquentes

Subtracting the percentage from the final (e.g., $120 - 20% = $96, wrong!)
Using the wrong multiplier (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)
Confusing increase (multiply by >1) with decrease (multiply by <1)

Résolution étape par étape

Après une augmentation de 25 %, un prix est de 150 $. Quel était le prix original ?

Identifiez le multiplicateur pour 25 % d'augmentation : 1 + 25/100 = 1,25
Posez l'équation : Original x 1,25 = 150 $
Divisez la valeur finale par le multiplicateur : 150 $ / 1,25
Calculez : 150 $ / 1,25 = 120 $

Réponse: $120

Apprendre 3

Variation en Pourcentage

Calculer le résultat après avoir augmenté ou diminué une valeur d'un pourcentage.

Percentage change problems involve applying an increase or decrease to a starting value. For an increase of X%, multiply by (1 + X/100). For a decrease of X%, multiply by (1 - X/100). This is more direct than reverse percentage since you're moving forward from the original to the final value.

Increase: Final = Original × (1 + X/100). Decrease: Final = Original × (1 - X/100)

100 increased by 20% = 100 × 1.20 = 120
80 decreased by 25% = 80 × 0.75 = 60
150 increased by 10% = 150 × 1.10 = 165

Comment le reconnaître

Given a starting value and a percentage change
Asked for the new/final value
Keywords: 'increases by', 'decreases by', 'goes up', 'goes down'

Erreurs fréquentes

Adding/subtracting the percentage instead of using a multiplier
Confusing 'increased by 20%' with 'increased to 120%'
Using the wrong direction (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)

Résolution étape par étape

Une chemise coûte 60 $. Elle est soldée à -30 %. Quel est le prix soldé ?

Identifiez ceci comme une diminution : 30 % de réduction
Calculez le multiplicateur : 1 - 30/100 = 0,70
Multipliez le prix original par le multiplicateur : 60 $ x 0,70
Calculez : 60 $ x 0,70 = 42 $

Réponse: $42

Apprendre 4

Ratio Simple

Trouver des valeurs inconnues lorsque deux quantités sont dans un ratio donné.

Ratio problems express a relationship between two quantities. If A:B = 2:3 and you know A=10, you can find B by first finding the multiplier (10÷2=5) and then applying it to the other part (3×5=15). The ratio tells you the relative sizes, and the multiplier scales it to actual values.

If A:B = m:n and A = x, then B = x × (n/m)

If A:B = 2:3 and A = 10, then B = 10 × (3/2) = 15
If X:Y = 3:4 and Y = 20, then X = 20 × (3/4) = 15
If P:Q = 5:2 and P = 35, then Q = 35 × (2/5) = 14

Comment le reconnaître

Two quantities described as 'in the ratio' of X:Y
One value is given, the other is unknown
Find the multiplier by dividing the known value by its ratio part

Erreurs fréquentes

Dividing by the wrong ratio part
Confusing which value corresponds to which part of the ratio
Adding/subtracting instead of multiplying

Résolution étape par étape

Le ratio garçons/filles dans une classe est 3:5. S'il y a 12 garçons, combien de filles y a-t-il ?

Identifiez les parts du ratio : garçons = 3, filles = 5
Trouvez le multiplicateur : 12 garçons / 3 parts = 4
Appliquez le multiplicateur pour les filles : 5 parts x 4
Calculez : 5 x 4 = 20 filles

Réponse: 20 girls

Apprendre 5

Division par Ratio

Diviser un montant total selon un ratio donné.

Ratio division problems ask you to split a total into parts according to a ratio. First, add the ratio parts to find the total number of 'shares'. Then divide the total amount by this number to find the value of one share. Finally, multiply by each ratio part to get the actual amounts.

Total T split in ratio a:b → Part A = T × a/(a+b), Part B = T × b/(a+b)

Split $100 in ratio 3:2 → Shares = 5, each share = $20 → Parts are $60 and $40
Divide 45 items in ratio 4:5 → Shares = 9, each = 5 → Parts are 20 and 25
Split 120 in ratio 1:2:3 → Shares = 6, each = 20 → Parts are 20, 40, and 60

Comment le reconnaître

A total amount needs to be divided
The division follows a specified ratio
Add ratio parts first to find total shares

Erreurs fréquentes

Forgetting to add ratio parts to find total shares
Dividing by only one ratio part instead of the sum
Mixing up which part corresponds to which share

Résolution étape par étape

Divisez 180 $ entre deux personnes dans le ratio 2:7.

Additionnez les parts du ratio : 2 + 7 = 9
Trouvez la valeur d'une part : 180 $ / 9 = 20 $
Calculez la part de la première personne : 2 x 20 $ = 40 $
Calculez la part de la deuxième personne : 7 x 20 $ = 140 $

Réponse: $40 and $140

Apprendre 6

Problèmes de Cadence

Calculer le temps ou le nombre de travailleurs nécessaires quand le travail total reste constant.

Work rate problems are based on the formula: Work = Rate × Time, or equivalently, Work = Workers × Days. If the total work is constant, increasing workers decreases time proportionally. The key insight is that 'worker-days' (or 'machine-hours') represents the total work, and this stays the same regardless of how many workers do the job.

Total Work = Workers × Time. If W1 × T1 = W2 × T2, then T2 = (W1 × T1) / W2

4 workers in 12 days = 48 worker-days. 6 workers = 48 ÷ 6 = 8 days
3 machines in 10 hours = 30 machine-hours. 5 machines = 30 ÷ 5 = 6 hours
2 people in 15 days = 30 person-days. 5 people = 30 ÷ 5 = 6 days

Comment le reconnaître

Problem mentions workers/machines and time to complete a job
Asks how long with different number of workers
Total work (job size) remains constant

Erreurs fréquentes

Thinking more workers means more time (it's inverse)
Adding workers instead of multiplying
Forgetting that work = workers × time

Résolution étape par étape

5 ouvriers terminent un projet en 12 jours. Combien de jours pour 10 ouvriers ?

Calculez le travail total : 5 ouvriers x 12 jours = 60 jours-ouvrier
Le travail total reste constant à 60 jours-ouvrier
Divisez par le nouveau nombre d'ouvriers : 60 / 10
Calculez : 60 / 10 = 6 jours

Réponse: 6 days

Apprendre 7

Calcul du Bénéfice

Calculer le bénéfice, le prix de revient ou le prix de vente à partir de valeurs données.

Profit calculations involve three key values: cost price (what you paid), selling price (what you sold for), and profit (the difference). Profit = Selling Price - Cost Price. Profit margin as a percentage is calculated relative to the cost price: Profit % = (Profit / Cost) × 100.

Profit = Selling Price - Cost Price. Profit % = (Profit / Cost) × 100

Buy at $80, sell at $100 → Profit = $20, Margin = 20/80 × 100 = 25%
Cost $50, 40% markup → Selling = $50 × 1.40 = $70, Profit = $20
Sold at $90 with $18 profit → Cost = $90 - $18 = $72

Comment le reconnaître

Problem mentions cost, selling price, or profit
May ask for profit amount or profit percentage
Markup problems are percentage-based profit calculations

Erreurs fréquentes

Confusing profit margin with markup
Calculating percentage based on selling price instead of cost
Mixing up which value to subtract from which

Résolution étape par étape

Un magasin achète un article à 60 $ et le vend à 75 $. Quelle est la marge bénéficiaire ?

Calculez le bénéfice : Prix de vente - Prix d'achat = 75 $ - 60 $ = 15 $
Divisez le bénéfice par le prix d'achat : 15 $ / 60 $
Convertissez en pourcentage : (15 $ / 60 $) x 100
Calculez : 0,25 x 100 = 25 %

Réponse: 25%

Apprendre 8

Pourcentage Composé

Calculer le résultat de l'application de plusieurs changements en pourcentage successifs.

Compound percentage problems involve applying multiple percentage changes one after another. Each change is applied to the result of the previous change, not the original value. A 10% increase followed by a 10% increase is NOT a 20% total increase—it's 1.10 × 1.10 = 1.21, or 21%.

After changes of X% then Y%: Final = Original × (1 + X/100) × (1 + Y/100)

100 increased by 10% then 20%: 100 × 1.10 × 1.20 = 132 (not 130)
200 up 25% then down 20%: 200 × 1.25 × 0.80 = 200 (back to start)
Price up 50% then down 50%: Not zero! 100 × 1.50 × 0.50 = 75

Comment le reconnaître

Multiple percentage changes applied in sequence
Each change applies to the result of the previous
Keywords: 'then', 'followed by', 'successive'

Erreurs fréquentes

Adding percentages together (10% + 20% = 30%, wrong!)
Thinking opposite changes cancel out (up 50%, down 50% ≠ original)
Applying both percentages to the original value

Résolution étape par étape

Un prix de 200 $ augmente de 20 %, puis diminue de 10 %. Quel est le prix final ?

Calculez le multiplicateur pour 20 % d'augmentation : 1 + 0,20 = 1,20
Calculez le multiplicateur pour 10 % de diminution : 1 - 0,10 = 0,90
Appliquez les deux multiplicateurs : 200 $ x 1,20 x 0,90
Calculez : 200 $ x 1,20 = 240 $, puis 240 $ x 0,90 = 216 $

Réponse: $216

Apprendre 9

Taux Combinés

Calculer le temps des tâches lorsque plusieurs travailleurs ou machines travaillent ensemble.

When multiple workers or machines work together, their rates add up. If Machine A produces 5 units/hour and Machine B produces 3 units/hour, together they produce 8 units/hour. To find time for a task, divide the total work by the combined rate. This also applies to pipes filling tanks or people completing tasks.

Combined Rate = Rate A + Rate B. Time = Total Work / Combined Rate

A makes 4/hr, B makes 6/hr → Together 10/hr → 50 units take 5 hours
Pipe A fills in 6 hrs, B in 3 hrs → Rates: 1/6 + 1/3 = 1/2 → Together: 2 hours
Worker A: 8 items/day, B: 12 items/day → 100 items = 100/20 = 5 days together

Comment le reconnaître

Multiple workers/machines working simultaneously
Individual rates are given (units per time)
Asked for time when working together

Erreurs fréquentes

Averaging rates instead of adding them
Adding times instead of rates (if A takes 2hr and B takes 3hr, together is NOT 5hr)
Forgetting to convert to consistent rate units

Résolution étape par étape

Le tuyau A remplit un réservoir en 4 h. Le tuyau B en 6 h. Combien de temps ensemble ?

Calculez le débit du tuyau A : 1 réservoir / 4 h = 1/4 par heure
Calculez le débit du tuyau B : 1 réservoir / 6 h = 1/6 par heure
Additionnez les débits : 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 par heure
Calculez le temps : 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 heures

Réponse: 2.4 hours (or 2 hours 24 minutes)

Apprendre 10

Moyenne avec une Valeur Manquante

Étant donné une moyenne visée et toutes les valeurs sauf une, résoudre pour la valeur manquante.

Si la moyenne arithmétique de n valeurs doit valoir M, la somme totale doit valoir n · M. Pour trouver une valeur manquante, calculez le total requis et soustrayez la somme des valeurs connues : manquante = n · M − Σ(connues). S'applique quand une valeur est inconnue et une moyenne visée est donnée.

manquante = n · M − Σ(valeurs connues)

Quatre notes ont une moyenne de 80 ; trois sont 75, 82, 78 → manquante = 85
Cinq mois de ventes moyennent 10 000 $ ; quatre totalisent 38 500 $ → manquante = 11 500 $
Six mesures moyennent 12,5 ; cinq totalisent 70 → manquante = 5

Comment le reconnaître

Une moyenne est donnée mais une valeur manque
Mots-clés : « moyenne visée », « doit atteindre »
Le nombre total n est connu

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier la moyenne par n
Soustraire dans le mauvais sens
Utiliser n − 1 au lieu de n

Apprendre 11

Combinaisons

Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.

Le nombre de combinaisons C(n, k) compte les sélections non ordonnées de k éléments parmi n distincts. Il vaut le coefficient binomial n! / (k! · (n − k)!). Contrairement aux arrangements : C(n, k) = P(n, k) / k!. Symétrie : C(n, k) = C(n, n − k).

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

C(5, 2) = 10
C(10, 3) = 120
C(52, 5) = 2 598 960 (mains de poker)

Comment le reconnaître

Question : « combien de façons » sans tenir compte de l'ordre
Mots-clés : « choisir », « sélectionner », « comité », « équipe »
Si réordonner donne la même sélection, utilisez des combinaisons

Erreurs fréquentes

Utiliser les arrangements quand l'ordre n'importe pas
Oublier le k! au dénominateur
Confondre C(n, k) avec n · k ou n^k

Apprendre 12

Intérêts Composés

Intérêts calculés sur le capital et sur les intérêts déjà accumulés, à croissance géométrique.

Les intérêts composés ajoutent les intérêts au capital à la fin de chaque période de capitalisation, de sorte que la période suivante rapporte des intérêts sur la somme plus élevée. Avec capital P, taux annuel r, n capitalisations par an et temps t en années : A = P · (1 + r/n)^(n·t). Croissance géométrique.

A = P · (1 + r/n)^(n·t)

1 000 $ à 5 % par an pendant 3 ans → A ≈ 1 157,63 $
500 € à 4 % capitalisés trimestriellement pendant 2 ans → A ≈ 541,43 €
2 000 $ à 6 % capitalisés mensuellement pendant 1 an → A ≈ 2 123,36 $

Comment le reconnaître

Mots-clés : « composé », « capitalisé mensuellement/annuellement »
La croissance est multiplicative
Le solde s'accélère dans le temps

Erreurs fréquentes

Utiliser les intérêts simples
Oublier de diviser le taux par n
Utiliser n au lieu de n·t dans l'exposant

Apprendre 13

Conversion de Devises

Convertir un montant d'une devise à une autre en multipliant par le taux de change.

Un taux de change exprime combien de devise B vous obtenez par unité de devise A. Pour convertir un montant X de A à B, multipliez par le taux : X_B = X_A · taux(A→B). Le taux inverse est 1 / taux(A→B). Entre devises sans cotation directe, utilisez un taux croisé : taux(A→C) = taux(A→B) · taux(B→C).

X_B = X_A · taux(A→B) ; taux(B→A) = 1 / taux(A→B)

100 USD en EUR à 1 USD = 0,85 EUR → 85 EUR
500 EUR en USD à 1 USD = 0,85 EUR → 500 / 0,85 ≈ 588,24 USD
USD → GBP via EUR : 100 · 0,85 · 0,86 = 73 GBP

Comment le reconnaître

L'énoncé mentionne des devises ou des taux
Un taux comme « 1 USD = 0,85 EUR » est donné
Parfois il faut inverser ou enchaîner des taux

Erreurs fréquentes

Inverser la direction du taux
Multiplier au lieu de diviser
Arrondir trop tôt

Apprendre 14

Problème de Mélange

Calculer la concentration d'un mélange combiné à partir des concentrations et quantités de ses composants.

Lorsqu'on combine deux solutions de volumes V_1 et V_2 et concentrations c_1 et c_2, le mélange a volume V_1 + V_2 et concentration c_final = (c_1 · V_1 + c_2 · V_2) / (V_1 + V_2). C'est une moyenne pondérée par le volume, extensible à plusieurs composants.

c_final = Σ(c_i · V_i) / Σ V_i

2 L à 10 % avec 3 L à 20 % → c = 16 %
500 g d'alliage à 40 % avec 300 g à 60 % → c ≈ 47,5 %
Diluer 1 L à 25 % avec 3 L d'eau → c = 6,25 %

Comment le reconnaître

Plusieurs quantités à concentrations différentes sont combinées
Mots-clés : « mélange », « diluer », « alliage »
On demande la concentration finale ou la quantité requise

Erreurs fréquentes

Moyenner les concentrations sans pondération
Oublier que l'ajout de solvant pur est une composante à 0 %
Mélanger les unités

Apprendre 15

Probabilité

La vraisemblance d'un événement, exprimée comme un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain).

Pour un espace d'échantillonnage fini d'issues équiprobables, la probabilité d'un événement E est P(E) = |E| / |S|. Elle satisfait les axiomes de Kolmogorov : 0 ≤ P(E) ≤ 1, P(espace) = 1 et pour des événements disjoints P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Pour des événements indépendants, P(A et B) = P(A) · P(B). Règle du complément : P(non E) = 1 − P(E).

P(E) = cas favorables / cas total ; 0 ≤ P(E) ≤ 1

Obtenir un 6 avec un dé équilibré → P = 1/6
Tirer un as d'un jeu de 52 cartes → P = 4/52 = 1/13
Deux piles consécutifs (pièces) → P = 1/4

Comment le reconnaître

La question porte sur la probabilité ou la chance
Un espace équiprobable est décrit
Événements combinés avec « et » (multiplier si indépendants) ou « ou » (additionner si disjoints)

Erreurs fréquentes

Additionner des probabilités sans retrancher les recouvrements
Multiplier des événements non indépendants
Oublier la règle du complément

Apprendre 16

Intérêt Simple

Intérêts calculés uniquement sur le capital initial, croissant linéairement avec le temps.

L'intérêt simple est calculé comme un taux fixe sur le capital initial à chaque période, sans capitalisation. Si P est le capital, r le taux annuel (en décimal) et t le temps en années, l'intérêt est I = P · r · t et le montant final A = P · (1 + r · t). Croissance linéaire dans le temps.

I = P · r · t ; A = P · (1 + r · t)

1 000 $ à 5 % pendant 3 ans → I = 150 $ ; A = 1 150 $
500 € à 4 % pendant 2 ans → I = 40 € ; A = 540 €
2 000 £ à 6 % pendant 6 mois → I = 60 £

Comment le reconnaître

L'énoncé indique « intérêt simple »
L'intérêt est identique chaque période
Le taux se multiplie par le temps

Erreurs fréquentes

Utiliser la formule des intérêts composés
Oublier de convertir les pourcentages en décimales (5 % = 0,05)
Mélanger les unités de temps

Apprendre 17

Vitesse, Distance et Temps

Utiliser la relation vitesse = distance ÷ temps pour résoudre l'une quelconque des trois grandeurs.

Pour un mouvement à vitesse constante, les trois grandeurs distance d, vitesse v et temps t sont liées par d = v · t, d'où v = d / t et t = d / v. Quand la vitesse change par segments, la vitesse moyenne globale est distance totale / temps total. Les unités doivent être cohérentes.

d = v · t ; v = d / t ; t = d / v ; vitesse moyenne = distance totale / temps total

Une voiture parcourant 60 km en 1,5 h roule à 40 km/h
Marcher 5 km à 4 km/h prend 1,25 h
Segment 1 : 30 km à 60 km/h ; segment 2 : 30 km à 30 km/h → moyenne = 40 km/h

Comment le reconnaître

L'énoncé mentionne distance, vitesse ou temps
On demande la troisième grandeur
Les trajets multi-segments requièrent distance totale et temps total

Erreurs fréquentes

Faire une moyenne directe des vitesses
Mélanger les unités
Calculer v = t / d

Apprendre 18

Moyenne Pondérée

Une moyenne où chaque valeur contribue selon son poids, pas à égalité.

La moyenne pondérée des valeurs x_1, ..., x_n avec poids w_1, ..., w_n est x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i. Avec des poids égaux, elle se réduit à la moyenne arithmétique ordinaire. C'est l'outil correct quand les valeurs ont des importances, tailles ou fréquences différentes.

x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i

Notes : classe A 80 (20 élèves), classe B 70 (30 élèves) → pondérée = (20·80 + 30·70)/50 = 74
Moyenne : A (3 crédits), B (4 crédits), C (2 crédits)
Rendement de portefeuille : investissements pondérés par le montant

Comment le reconnaître

Les valeurs ont des tailles, importances ou fréquences différentes
Mots-clés : « pondéré », « par crédits », « par unité »
Poids égaux → moyenne ordinaire ; inégaux → pondérée

Erreurs fréquentes

Prendre une moyenne simple quand les poids diffèrent
Oublier de diviser par la somme des poids
Inverser valeurs et poids

Exemples résolus

Les exemples résolus conservent le jeu d’exercices d’origine à chaque niveau. Ouvrez-en un pour comparer l’énoncé, les choix, la bonne réponse et l’explication.

Exemple

Explication

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