Finding a percentage of a number is one of the most fundamental numerical operations. To find X% of Y, multiply Y by X and divide by 100, or equivalently, multiply Y by the decimal form of X (X/100). This skill is essential for calculating discounts, tips, taxes, and portions.

X% of Y = Y × (X/100) = Y × 0.0X

What is 25% of 80? → 80 × 0.25 = 20
What is 15% of 200? → 200 × 0.15 = 30
What is 40% of 150? → 150 × 0.40 = 60

Come riconoscerlo

Look for 'what is X% of Y' phrasing
Convert the percentage to decimal (divide by 100)
Multiply the base number by the decimal

Errori comuni

Forgetting to divide the percentage by 100
Multiplying by the percentage directly (25 instead of 0.25)
Confusing 'of' with 'off' (discount calculations)

Soluzione passo per passo

Quanto è il 15% di 80?

Converti la percentuale in decimale: 15/100 = 0,15
Moltiplica il numero base per il decimale: 80 x 0,15
Calcola: 80 x 0,15 = 12

Risposta: 12

Impara 2

Percentuale Inversa

Trovare il valore originale prima dell'applicazione di una variazione percentuale.

Reverse percentage problems ask you to work backwards from a final value to find the original. If something increased by X%, the final value equals the original times (1 + X/100). To find the original, divide the final value by this multiplier. This is trickier than forward percentages because you can't simply subtract the percentage.

If Final = Original × (1 + X/100), then Original = Final ÷ (1 + X/100)

After a 20% increase, a price is $120. Original = $120 ÷ 1.20 = $100
After a 25% discount, a price is $60. Original = $60 ÷ 0.75 = $80
After a 10% raise, salary is $55,000. Original = $55,000 ÷ 1.10 = $50,000

Come riconoscerlo

You're given the final value after a percentage change
You need to find what the value was before the change
Keywords: 'original price', 'was before', 'started at'

Errori comuni

Subtracting the percentage from the final (e.g., $120 - 20% = $96, wrong!)
Using the wrong multiplier (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)
Confusing increase (multiply by >1) with decrease (multiply by <1)

Soluzione passo per passo

Dopo un aumento del 25%, un prezzo è $150. Qual era il prezzo originale?

Identifica il moltiplicatore per un aumento del 25%: 1 + 25/100 = 1,25
Imposta l'equazione: Originale x 1,25 = $150
Dividi il valore finale per il moltiplicatore: $150 / 1,25
Calcola: $150 / 1,25 = $120

Risposta: $120

Impara 3

Variazione Percentuale

Calcolare il risultato dopo aver aumentato o diminuito un valore di una percentuale.

Percentage change problems involve applying an increase or decrease to a starting value. For an increase of X%, multiply by (1 + X/100). For a decrease of X%, multiply by (1 - X/100). This is more direct than reverse percentage since you're moving forward from the original to the final value.

Increase: Final = Original × (1 + X/100). Decrease: Final = Original × (1 - X/100)

100 increased by 20% = 100 × 1.20 = 120
80 decreased by 25% = 80 × 0.75 = 60
150 increased by 10% = 150 × 1.10 = 165

Come riconoscerlo

Given a starting value and a percentage change
Asked for the new/final value
Keywords: 'increases by', 'decreases by', 'goes up', 'goes down'

Errori comuni

Adding/subtracting the percentage instead of using a multiplier
Confusing 'increased by 20%' with 'increased to 120%'
Using the wrong direction (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)

Soluzione passo per passo

Una camicia costa $60. È in saldo al 30% di sconto. Qual è il prezzo scontato?

Identifica come diminuzione percentuale: 30% di sconto
Calcola il moltiplicatore: 1 - 30/100 = 0,70
Moltiplica il prezzo originale per il moltiplicatore: $60 x 0,70
Calcola: $60 x 0,70 = $42

Risposta: $42

Impara 4

Rapporto Semplice

Trovare valori sconosciuti quando due quantità sono in un dato rapporto.

Ratio problems express a relationship between two quantities. If A:B = 2:3 and you know A=10, you can find B by first finding the multiplier (10÷2=5) and then applying it to the other part (3×5=15). The ratio tells you the relative sizes, and the multiplier scales it to actual values.

If A:B = m:n and A = x, then B = x × (n/m)

If A:B = 2:3 and A = 10, then B = 10 × (3/2) = 15
If X:Y = 3:4 and Y = 20, then X = 20 × (3/4) = 15
If P:Q = 5:2 and P = 35, then Q = 35 × (2/5) = 14

Come riconoscerlo

Two quantities described as 'in the ratio' of X:Y
One value is given, the other is unknown
Find the multiplier by dividing the known value by its ratio part

Errori comuni

Dividing by the wrong ratio part
Confusing which value corresponds to which part of the ratio
Adding/subtracting instead of multiplying

Soluzione passo per passo

Il rapporto tra ragazzi e ragazze in una classe è 3:5. Se ci sono 12 ragazzi, quante ragazze ci sono?

Identifica le parti del rapporto: ragazzi = 3, ragazze = 5
Trova il moltiplicatore: 12 ragazzi / 3 parti = 4
Applica il moltiplicatore per le ragazze: 5 parti x 4
Calcola: 5 x 4 = 20 ragazze

Risposta: 20 girls

Impara 5

Divisione per Rapporto

Dividere un importo totale secondo un rapporto dato.

Ratio division problems ask you to split a total into parts according to a ratio. First, add the ratio parts to find the total number of 'shares'. Then divide the total amount by this number to find the value of one share. Finally, multiply by each ratio part to get the actual amounts.

Total T split in ratio a:b → Part A = T × a/(a+b), Part B = T × b/(a+b)

Split $100 in ratio 3:2 → Shares = 5, each share = $20 → Parts are $60 and $40
Divide 45 items in ratio 4:5 → Shares = 9, each = 5 → Parts are 20 and 25
Split 120 in ratio 1:2:3 → Shares = 6, each = 20 → Parts are 20, 40, and 60

Come riconoscerlo

A total amount needs to be divided
The division follows a specified ratio
Add ratio parts first to find total shares

Errori comuni

Forgetting to add ratio parts to find total shares
Dividing by only one ratio part instead of the sum
Mixing up which part corresponds to which share

Soluzione passo per passo

Dividi $180 tra due persone nel rapporto 2:7.

Somma le parti del rapporto: 2 + 7 = 9
Trova il valore di ogni parte: $180 / 9 = $20
Calcola la parte della prima persona: 2 x $20 = $40
Calcola la parte della seconda persona: 7 x $20 = $140

Risposta: $40 and $140

Impara 6

Problemi di Resa Lavorativa

Calcolare il tempo o i lavoratori necessari quando il lavoro totale rimane costante.

Work rate problems are based on the formula: Work = Rate × Time, or equivalently, Work = Workers × Days. If the total work is constant, increasing workers decreases time proportionally. The key insight is that 'worker-days' (or 'machine-hours') represents the total work, and this stays the same regardless of how many workers do the job.

Total Work = Workers × Time. If W1 × T1 = W2 × T2, then T2 = (W1 × T1) / W2

4 workers in 12 days = 48 worker-days. 6 workers = 48 ÷ 6 = 8 days
3 machines in 10 hours = 30 machine-hours. 5 machines = 30 ÷ 5 = 6 hours
2 people in 15 days = 30 person-days. 5 people = 30 ÷ 5 = 6 days

Come riconoscerlo

Problem mentions workers/machines and time to complete a job
Asks how long with different number of workers
Total work (job size) remains constant

Errori comuni

Thinking more workers means more time (it's inverse)
Adding workers instead of multiplying
Forgetting that work = workers × time

Soluzione passo per passo

5 lavoratori completano un progetto in 12 giorni. Quanti giorni servirebbero a 10 lavoratori?

Calcola il lavoro totale: 5 lavoratori x 12 giorni = 60 giorni-lavoratore
Il lavoro totale resta costante a 60 giorni-lavoratore
Dividi per il nuovo numero di lavoratori: 60 / 10
Calcola: 60 / 10 = 6 giorni

Risposta: 6 days

Impara 7

Calcolo del Profitto

Calcolare profitto, prezzo di costo o prezzo di vendita da valori dati.

Profit calculations involve three key values: cost price (what you paid), selling price (what you sold for), and profit (the difference). Profit = Selling Price - Cost Price. Profit margin as a percentage is calculated relative to the cost price: Profit % = (Profit / Cost) × 100.

Profit = Selling Price - Cost Price. Profit % = (Profit / Cost) × 100

Buy at $80, sell at $100 → Profit = $20, Margin = 20/80 × 100 = 25%
Cost $50, 40% markup → Selling = $50 × 1.40 = $70, Profit = $20
Sold at $90 with $18 profit → Cost = $90 - $18 = $72

Come riconoscerlo

Problem mentions cost, selling price, or profit
May ask for profit amount or profit percentage
Markup problems are percentage-based profit calculations

Errori comuni

Confusing profit margin with markup
Calculating percentage based on selling price instead of cost
Mixing up which value to subtract from which

Soluzione passo per passo

Un negozio acquista un articolo per $60 e lo vende per $75. Qual è la percentuale di margine di profitto?

Calcola il profitto: Prezzo di vendita - Prezzo di costo = $75 - $60 = $15
Dividi il profitto per il prezzo di costo: $15 / $60
Converti in percentuale: ($15 / $60) x 100
Calcola: 0,25 x 100 = 25%

Risposta: 25%

Impara 8

Percentuale Composta

Calcolare il risultato dell'applicazione di più variazioni percentuali in sequenza.

Compound percentage problems involve applying multiple percentage changes one after another. Each change is applied to the result of the previous change, not the original value. A 10% increase followed by a 10% increase is NOT a 20% total increase—it's 1.10 × 1.10 = 1.21, or 21%.

After changes of X% then Y%: Final = Original × (1 + X/100) × (1 + Y/100)

100 increased by 10% then 20%: 100 × 1.10 × 1.20 = 132 (not 130)
200 up 25% then down 20%: 200 × 1.25 × 0.80 = 200 (back to start)
Price up 50% then down 50%: Not zero! 100 × 1.50 × 0.50 = 75

Come riconoscerlo

Multiple percentage changes applied in sequence
Each change applies to the result of the previous
Keywords: 'then', 'followed by', 'successive'

Errori comuni

Adding percentages together (10% + 20% = 30%, wrong!)
Thinking opposite changes cancel out (up 50%, down 50% ≠ original)
Applying both percentages to the original value

Soluzione passo per passo

Un prezzo di $200 aumenta del 20%, poi diminuisce del 10%. Qual è il prezzo finale?

Calcola il moltiplicatore per aumento del 20%: 1 + 0,20 = 1,20
Calcola il moltiplicatore per diminuzione del 10%: 1 - 0,10 = 0,90
Applica entrambi i moltiplicatori: $200 x 1,20 x 0,90
Calcola: $200 x 1,20 = $240, poi $240 x 0,90 = $216

Risposta: $216

Impara 9

Tassi Combinati

Calcolare quanto tempo richiedono le attività quando più lavoratori o macchine lavorano insieme.

When multiple workers or machines work together, their rates add up. If Machine A produces 5 units/hour and Machine B produces 3 units/hour, together they produce 8 units/hour. To find time for a task, divide the total work by the combined rate. This also applies to pipes filling tanks or people completing tasks.

Combined Rate = Rate A + Rate B. Time = Total Work / Combined Rate

A makes 4/hr, B makes 6/hr → Together 10/hr → 50 units take 5 hours
Pipe A fills in 6 hrs, B in 3 hrs → Rates: 1/6 + 1/3 = 1/2 → Together: 2 hours
Worker A: 8 items/day, B: 12 items/day → 100 items = 100/20 = 5 days together

Come riconoscerlo

Multiple workers/machines working simultaneously
Individual rates are given (units per time)
Asked for time when working together

Errori comuni

Averaging rates instead of adding them
Adding times instead of rates (if A takes 2hr and B takes 3hr, together is NOT 5hr)
Forgetting to convert to consistent rate units

Soluzione passo per passo

Il tubo A riempie un serbatoio in 4 ore. Il tubo B in 6 ore. Quanto tempo ci vuole insieme?

Calcola la velocità del tubo A: 1 serbatoio / 4 ore = 1/4 all'ora
Calcola la velocità del tubo B: 1 serbatoio / 6 ore = 1/6 all'ora
Somma le velocità: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 all'ora
Calcola il tempo: 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 ore

Risposta: 2.4 hours (or 2 hours 24 minutes)

Impara 10

Media con un Valore Mancante

Data una media obiettivo e tutti i valori tranne uno, trovare il valore mancante.

Se la media aritmetica di n valori deve essere M, la somma totale deve essere n · M. Per trovare un valore mancante, calcola la somma richiesta e sottrai quella dei valori noti: mancante = n · M − Σ(noti).

mancante = n · M − Σ(valori noti)

Quattro voti con media 80; tre sono 75, 82, 78 → mancante = 85
Vendite di cinque mesi con media 10.000 $; quattro totalizzano 38.500 $ → mancante = 11.500 $
Sei misurazioni con media 12,5; cinque totalizzano 70 → mancante = 5

Come riconoscerlo

È data una media ma manca un valore
Parole chiave: 'media obiettivo', 'deve mediare'
Il numero totale n è noto

Errori comuni

Dimenticare di moltiplicare la media per n
Sottrarre nell'ordine sbagliato
Usare n − 1 invece di n

Impara 11

Combinazioni

Il numero di modi per scegliere k elementi da n senza considerare l'ordine.

Il numero di combinazioni C(n, k) conta le selezioni non ordinate di k elementi da n distinti. È uguale al coefficiente binomiale n! / (k! · (n − k)!). A differenza delle permutazioni: C(n, k) = P(n, k) / k!. Simmetria: C(n, k) = C(n, n − k).

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

C(5, 2) = 10
C(10, 3) = 120
C(52, 5) = 2.598.960 (mani di poker)

Come riconoscerlo

Domanda: 'in quanti modi' senza considerare l'ordine
Parole chiave: 'scegliere', 'selezionare', 'comitato', 'squadra'
Se riordinare dà la stessa selezione, combinazioni

Errori comuni

Usare permutazioni quando l'ordine non conta
Dimenticare il k! al denominatore
Confondere C(n, k) con n · k o n^k

Impara 12

Interesse Composto

Interesse calcolato sul capitale e sugli interessi già maturati, con crescita geometrica.

L'interesse composto aggiunge gli interessi al capitale alla fine di ogni periodo di capitalizzazione, così il periodo successivo rende interessi sull'importo maggiore. Con capitale P, tasso annuo r, n capitalizzazioni all'anno e tempo t in anni: A = P · (1 + r/n)^(n·t). Crescita geometrica.

A = P · (1 + r/n)^(n·t)

1.000 $ al 5% annuo per 3 anni → A ≈ 1.157,63 $
500 € al 4% trimestrale per 2 anni → A ≈ 541,43 €
2.000 $ al 6% mensile per 1 anno → A ≈ 2.123,36 $

Come riconoscerlo

Parole chiave: 'composto', 'capitalizzato mensilmente/annualmente'
Crescita moltiplicativa per periodo
Il saldo accelera nel tempo

Errori comuni

Usare l'interesse semplice
Dimenticare di dividere il tasso per n
Usare n invece di n·t nell'esponente

Impara 13

Conversione di Valuta

Convertire un importo da una valuta all'altra moltiplicando per il tasso di cambio.

Un tasso di cambio esprime quanto si ottiene di valuta B per unità di valuta A. Per convertire un importo X da A a B, moltiplica per il tasso: X_B = X_A · tasso(A→B). Il tasso inverso è 1 / tasso(A→B). Per coppie non quotate direttamente: tasso(A→C) = tasso(A→B) · tasso(B→C).

X_B = X_A · tasso(A→B)

100 USD in EUR con 1 USD = 0,85 EUR → 85 EUR
500 EUR in USD → 500 / 0,85 ≈ 588,24 USD
USD → GBP via EUR: 100 · 0,85 · 0,86 = 73 GBP

Come riconoscerlo

Il problema menziona valute o tassi
Viene dato un tasso come '1 USD = 0,85 EUR'
A volte serve invertire o concatenare tassi

Errori comuni

Invertire la direzione del tasso
Moltiplicare invece di dividere
Arrotondare troppo presto

Impara 14

Problema di Miscela

Calcolare la concentrazione di una miscela combinata dalle concentrazioni e quantità dei componenti.

Quando si combinano due soluzioni con volumi V_1 e V_2 e concentrazioni c_1 e c_2, la miscela ha volume V_1 + V_2 e concentrazione c_finale = (c_1 · V_1 + c_2 · V_2) / (V_1 + V_2). È una media ponderata per volume, estensibile a più componenti.

c_finale = Σ(c_i · V_i) / Σ V_i

2 L al 10% con 3 L al 20% → c = 16%
500 g di lega al 40% con 300 g al 60% → c ≈ 47,5%
Diluire 1 L al 25% con 3 L di acqua → c = 6,25%

Come riconoscerlo

Due o più quantità con concentrazioni diverse vengono combinate
Parole chiave: 'mischia', 'diluire', 'lega', 'soluzione'
Si chiede la concentrazione finale o la quantità richiesta

Errori comuni

Mediare direttamente le concentrazioni
Dimenticare che aggiungere solvente puro è un componente a 0%
Mescolare le unità

Impara 15

Probabilità

La verosimiglianza di un evento, espressa come numero tra 0 (impossibile) e 1 (certo).

Per uno spazio campionario finito con esiti equiprobabili, la probabilità di un evento E è P(E) = |E| / |S|. Soddisfa gli assiomi di Kolmogorov: 0 ≤ P(E) ≤ 1, P(spazio) = 1 e per eventi disgiunti P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Per eventi indipendenti, P(A e B) = P(A) · P(B). Regola del complemento: P(non E) = 1 − P(E).

P(E) = casi favorevoli / casi totali; 0 ≤ P(E) ≤ 1

Ottenere un 6 con un dado equo → P = 1/6
Estrarre un asso da un mazzo di 52 → P = 4/52 = 1/13
Due teste consecutive → P = 1/4

Come riconoscerlo

La domanda chiede la probabilità
È descritto uno spazio equiprobabile
Eventi combinati con 'e' (moltiplicare se indipendenti) o 'o' (sommare se disgiunti)

Errori comuni

Sommare probabilità senza sottrarre le sovrapposizioni
Moltiplicare eventi non indipendenti
Dimenticare la regola del complemento

Impara 16

Interesse Semplice

Interessi calcolati solo sul capitale iniziale, crescenti linearmente nel tempo.

L'interesse semplice è calcolato come un tasso fisso sul capitale iniziale per ciascun periodo, senza capitalizzazione. Con capitale P, tasso annuo r (decimale) e tempo t in anni: interesse I = P · r · t, montante finale A = P · (1 + r · t). Crescita lineare.

I = P · r · t; A = P · (1 + r · t)

1.000 $ al 5% per 3 anni → I = 150 $; A = 1.150 $
500 € al 4% per 2 anni → I = 40 €; A = 540 €
2.000 £ al 6% per 6 mesi → I = 60 £

Come riconoscerlo

Il problema menziona 'interesse semplice'
L'interesse è uguale in ogni periodo
Il tasso si moltiplica per il tempo

Errori comuni

Usare la formula dell'interesse composto
Dimenticare di convertire percentuali in decimali
Mescolare unità di tempo

Impara 17

Velocità, Distanza e Tempo

Usare la relazione velocità = distanza ÷ tempo per ricavare una qualsiasi delle tre grandezze.

Per il moto a velocità costante, le tre grandezze distanza d, velocità v e tempo t sono legate da d = v · t, da cui v = d / t e t = d / v. Quando la velocità cambia su tratti, la velocità media è distanza totale / tempo totale. Le unità devono essere coerenti.

d = v · t; v = d / t; t = d / v

Un'auto che percorre 60 km in 1,5 h va a 40 km/h
Camminare 5 km a 4 km/h richiede 1,25 h
Tratto 1: 30 km a 60 km/h; tratto 2: 30 km a 30 km/h → media = 40 km/h

Come riconoscerlo

Il problema menziona distanza, velocità o tempo
Si chiede la terza grandezza
I percorsi a più tratti richiedono distanza totale e tempo totale

Errori comuni

Mediare direttamente le velocità
Mescolare le unità
Calcolare v = t / d

Impara 18

Media Ponderata

Una media in cui ogni valore contribuisce secondo il suo peso, non in modo uguale.

La media ponderata dei valori x_1, ..., x_n con pesi w_1, ..., w_n è x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i. Con pesi uguali si riduce alla media aritmetica ordinaria. È lo strumento corretto quando i valori hanno importanza, dimensione campionaria o frequenza diverse.

x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i

Voti: classe A 80 (20 studenti), classe B 70 (30 studenti) → ponderata = (20·80 + 30·70)/50 = 74
Media: A (3 crediti), B (4 crediti), C (2 crediti)
Rendimento portafoglio: investimenti ponderati per l'importo

Come riconoscerlo

I valori hanno dimensioni, importanza o frequenze diverse
Parole chiave: 'ponderata', 'per crediti', 'per unità'
Pesi uguali → media ordinaria; diversi → ponderata

Errori comuni

Prendere la media semplice quando i pesi differiscono
Dimenticare di dividere per la somma dei pesi
Scambiare valori e pesi

Esempi svolti

Gli esempi svolti conservano la serie originale per ogni difficoltà. Aprine uno per confrontare consegna, opzioni, risposta corretta e spiegazione.

Esempio

Spiegazione

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