Finding a percentage of a number is one of the most fundamental numerical operations. To find X% of Y, multiply Y by X and divide by 100, or equivalently, multiply Y by the decimal form of X (X/100). This skill is essential for calculating discounts, tips, taxes, and portions.

X% of Y = Y × (X/100) = Y × 0.0X

What is 25% of 80? → 80 × 0.25 = 20
What is 15% of 200? → 200 × 0.15 = 30
What is 40% of 150? → 150 × 0.40 = 60

Πώς να το αναγνωρίζετε

Look for 'what is X% of Y' phrasing
Convert the percentage to decimal (divide by 100)
Multiply the base number by the decimal

Συνηθισμένα λάθη

Forgetting to divide the percentage by 100
Multiplying by the percentage directly (25 instead of 0.25)
Confusing 'of' with 'off' (discount calculations)

Λύση βήμα προς βήμα

Πόσο είναι το 15% του 80;

Μετατρέψτε το ποσοστό σε δεκαδικό: 15/100 = 0,15
Πολλαπλασιάστε τον αριθμό βάσης επί το δεκαδικό: 80 x 0,15
Υπολογίστε: 80 x 0,15 = 12

Απάντηση: 12

Μάθηση 2

Αντίστροφο Ποσοστό

Βρείτε την αρχική τιμή πριν εφαρμοστεί μια ποσοστιαία αλλαγή.

Reverse percentage problems ask you to work backwards from a final value to find the original. If something increased by X%, the final value equals the original times (1 + X/100). To find the original, divide the final value by this multiplier. This is trickier than forward percentages because you can't simply subtract the percentage.

If Final = Original × (1 + X/100), then Original = Final ÷ (1 + X/100)

After a 20% increase, a price is $120. Original = $120 ÷ 1.20 = $100
After a 25% discount, a price is $60. Original = $60 ÷ 0.75 = $80
After a 10% raise, salary is $55,000. Original = $55,000 ÷ 1.10 = $50,000

Πώς να το αναγνωρίζετε

You're given the final value after a percentage change
You need to find what the value was before the change
Keywords: 'original price', 'was before', 'started at'

Συνηθισμένα λάθη

Subtracting the percentage from the final (e.g., $120 - 20% = $96, wrong!)
Using the wrong multiplier (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)
Confusing increase (multiply by >1) with decrease (multiply by <1)

Λύση βήμα προς βήμα

Μετά από αύξηση 25%, μια τιμή είναι 150 $. Ποια ήταν η αρχική τιμή;

Αναγνωρίστε τον πολλαπλασιαστή για αύξηση 25%: 1 + 25/100 = 1,25
Ορίστε την εξίσωση: Αρχική x 1,25 = 150 $
Διαιρέστε την τελική τιμή: 150 $ / 1,25
Υπολογίστε: 150 $ / 1,25 = 120 $

Απάντηση: $120

Μάθηση 3

Ποσοστιαία Μεταβολή

Υπολογίστε το αποτέλεσμα μετά την αύξηση ή μείωση μιας τιμής κατά ένα ποσοστό.

Percentage change problems involve applying an increase or decrease to a starting value. For an increase of X%, multiply by (1 + X/100). For a decrease of X%, multiply by (1 - X/100). This is more direct than reverse percentage since you're moving forward from the original to the final value.

Increase: Final = Original × (1 + X/100). Decrease: Final = Original × (1 - X/100)

100 increased by 20% = 100 × 1.20 = 120
80 decreased by 25% = 80 × 0.75 = 60
150 increased by 10% = 150 × 1.10 = 165

Πώς να το αναγνωρίζετε

Given a starting value and a percentage change
Asked for the new/final value
Keywords: 'increases by', 'decreases by', 'goes up', 'goes down'

Συνηθισμένα λάθη

Adding/subtracting the percentage instead of using a multiplier
Confusing 'increased by 20%' with 'increased to 120%'
Using the wrong direction (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)

Λύση βήμα προς βήμα

Ένα πουκάμισο κοστίζει 60 $. Μπαίνει σε έκπτωση 30%. Ποια είναι η τιμή προσφοράς;

Αναγνωρίστε ως ποσοστιαία μείωση: 30% έκπτωση
Υπολογίστε τον πολλαπλασιαστή: 1 - 30/100 = 0,70
Πολλαπλασιάστε την αρχική τιμή: 60 $ x 0,70
Υπολογίστε: 60 $ x 0,70 = 42 $

Απάντηση: $42

Μάθηση 4

Απλή Αναλογία

Βρείτε άγνωστες τιμές όταν δύο ποσότητες βρίσκονται σε δεδομένη αναλογία.

Ratio problems express a relationship between two quantities. If A:B = 2:3 and you know A=10, you can find B by first finding the multiplier (10÷2=5) and then applying it to the other part (3×5=15). The ratio tells you the relative sizes, and the multiplier scales it to actual values.

If A:B = m:n and A = x, then B = x × (n/m)

If A:B = 2:3 and A = 10, then B = 10 × (3/2) = 15
If X:Y = 3:4 and Y = 20, then X = 20 × (3/4) = 15
If P:Q = 5:2 and P = 35, then Q = 35 × (2/5) = 14

Πώς να το αναγνωρίζετε

Two quantities described as 'in the ratio' of X:Y
One value is given, the other is unknown
Find the multiplier by dividing the known value by its ratio part

Συνηθισμένα λάθη

Dividing by the wrong ratio part
Confusing which value corresponds to which part of the ratio
Adding/subtracting instead of multiplying

Λύση βήμα προς βήμα

Η αναλογία αγοριών προς κορίτσια σε μια τάξη είναι 3:5. Αν υπάρχουν 12 αγόρια, πόσα κορίτσια υπάρχουν;

Αναγνωρίστε τα μέρη της αναλογίας: αγόρια = 3, κορίτσια = 5
Βρείτε τον πολλαπλασιαστή: 12 αγόρια / 3 μέρη = 4
Εφαρμόστε τον πολλαπλασιαστή για τα κορίτσια: 5 μέρη x 4
Υπολογίστε: 5 x 4 = 20 κορίτσια

Απάντηση: 20 girls

Μάθηση 5

Κατανομή κατά Αναλογία

Διαιρέστε ένα συνολικό ποσό σύμφωνα με μια δεδομένη αναλογία.

Ratio division problems ask you to split a total into parts according to a ratio. First, add the ratio parts to find the total number of 'shares'. Then divide the total amount by this number to find the value of one share. Finally, multiply by each ratio part to get the actual amounts.

Total T split in ratio a:b → Part A = T × a/(a+b), Part B = T × b/(a+b)

Split $100 in ratio 3:2 → Shares = 5, each share = $20 → Parts are $60 and $40
Divide 45 items in ratio 4:5 → Shares = 9, each = 5 → Parts are 20 and 25
Split 120 in ratio 1:2:3 → Shares = 6, each = 20 → Parts are 20, 40, and 60

Πώς να το αναγνωρίζετε

A total amount needs to be divided
The division follows a specified ratio
Add ratio parts first to find total shares

Συνηθισμένα λάθη

Forgetting to add ratio parts to find total shares
Dividing by only one ratio part instead of the sum
Mixing up which part corresponds to which share

Λύση βήμα προς βήμα

Μοιράστε 180 $ μεταξύ δύο ατόμων σε αναλογία 2:7.

Αθροίστε τα μέρη της αναλογίας: 2 + 7 = 9
Βρείτε την αξία κάθε μέρους: 180 $ / 9 = 20 $
Υπολογίστε το μερίδιο του πρώτου: 2 x 20 $ = 40 $
Υπολογίστε το μερίδιο του δεύτερου: 7 x 20 $ = 140 $

Απάντηση: $40 and $140

Μάθηση 6

Προβλήματα Ρυθμού Εργασίας

Υπολογίστε τον χρόνο ή τους εργαζομένους που χρειάζονται όταν το συνολικό έργο παραμένει σταθερό.

Work rate problems are based on the formula: Work = Rate × Time, or equivalently, Work = Workers × Days. If the total work is constant, increasing workers decreases time proportionally. The key insight is that 'worker-days' (or 'machine-hours') represents the total work, and this stays the same regardless of how many workers do the job.

Total Work = Workers × Time. If W1 × T1 = W2 × T2, then T2 = (W1 × T1) / W2

4 workers in 12 days = 48 worker-days. 6 workers = 48 ÷ 6 = 8 days
3 machines in 10 hours = 30 machine-hours. 5 machines = 30 ÷ 5 = 6 hours
2 people in 15 days = 30 person-days. 5 people = 30 ÷ 5 = 6 days

Πώς να το αναγνωρίζετε

Problem mentions workers/machines and time to complete a job
Asks how long with different number of workers
Total work (job size) remains constant

Συνηθισμένα λάθη

Thinking more workers means more time (it's inverse)
Adding workers instead of multiplying
Forgetting that work = workers × time

Λύση βήμα προς βήμα

5 εργάτες ολοκληρώνουν ένα έργο σε 12 ημέρες. Πόσες ημέρες θα χρειαστούν 10 εργάτες;

Υπολογίστε το συνολικό έργο: 5 εργάτες x 12 ημέρες = 60 ημέρες-εργάτη
Το συνολικό έργο παραμένει σταθερό στις 60 ημέρες-εργάτη
Διαιρέστε δια του νέου αριθμού εργατών: 60 / 10
Υπολογίστε: 60 / 10 = 6 ημέρες

Απάντηση: 6 days

Μάθηση 7

Υπολογισμός Κέρδους

Υπολογίστε κέρδος, τιμή κόστους ή τιμή πώλησης από δεδομένες τιμές.

Profit calculations involve three key values: cost price (what you paid), selling price (what you sold for), and profit (the difference). Profit = Selling Price - Cost Price. Profit margin as a percentage is calculated relative to the cost price: Profit % = (Profit / Cost) × 100.

Profit = Selling Price - Cost Price. Profit % = (Profit / Cost) × 100

Buy at $80, sell at $100 → Profit = $20, Margin = 20/80 × 100 = 25%
Cost $50, 40% markup → Selling = $50 × 1.40 = $70, Profit = $20
Sold at $90 with $18 profit → Cost = $90 - $18 = $72

Πώς να το αναγνωρίζετε

Problem mentions cost, selling price, or profit
May ask for profit amount or profit percentage
Markup problems are percentage-based profit calculations

Συνηθισμένα λάθη

Confusing profit margin with markup
Calculating percentage based on selling price instead of cost
Mixing up which value to subtract from which

Λύση βήμα προς βήμα

Ένα κατάστημα αγοράζει ένα αντικείμενο για 60 $ και το πουλάει για 75 $. Ποιο είναι το ποσοστό κέρδους;

Υπολογίστε το κέρδος: Τιμή πώλησης - Τιμή κόστους = 75 $ - 60 $ = 15 $
Διαιρέστε το κέρδος δια της τιμής κόστους: 15 $ / 60 $
Μετατρέψτε σε ποσοστό: (15 $ / 60 $) x 100
Υπολογίστε: 0,25 x 100 = 25%

Απάντηση: 25%

Μάθηση 8

Σύνθετο Ποσοστό

Υπολογίστε το αποτέλεσμα της εφαρμογής πολλαπλών ποσοστιαίων αλλαγών σε σειρά.

Compound percentage problems involve applying multiple percentage changes one after another. Each change is applied to the result of the previous change, not the original value. A 10% increase followed by a 10% increase is NOT a 20% total increase—it's 1.10 × 1.10 = 1.21, or 21%.

After changes of X% then Y%: Final = Original × (1 + X/100) × (1 + Y/100)

100 increased by 10% then 20%: 100 × 1.10 × 1.20 = 132 (not 130)
200 up 25% then down 20%: 200 × 1.25 × 0.80 = 200 (back to start)
Price up 50% then down 50%: Not zero! 100 × 1.50 × 0.50 = 75

Πώς να το αναγνωρίζετε

Multiple percentage changes applied in sequence
Each change applies to the result of the previous
Keywords: 'then', 'followed by', 'successive'

Συνηθισμένα λάθη

Adding percentages together (10% + 20% = 30%, wrong!)
Thinking opposite changes cancel out (up 50%, down 50% ≠ original)
Applying both percentages to the original value

Λύση βήμα προς βήμα

Μια τιμή 200 $ αυξάνεται 20%, μετά μειώνεται 10%. Ποια είναι η τελική τιμή;

Υπολογίστε τον πολλαπλασιαστή για αύξηση 20%: 1 + 0,20 = 1,20
Υπολογίστε τον πολλαπλασιαστή για μείωση 10%: 1 - 0,10 = 0,90
Εφαρμόστε και τους δύο πολλαπλασιαστές: 200 $ x 1,20 x 0,90
Υπολογίστε: 200 $ x 1,20 = 240 $, μετά 240 $ x 0,90 = 216 $

Απάντηση: $216

Μάθηση 9

Συνδυασμένοι Ρυθμοί

Υπολογίστε πόσο διαρκούν οι εργασίες όταν πολλοί εργαζόμενοι ή μηχανές εργάζονται μαζί.

When multiple workers or machines work together, their rates add up. If Machine A produces 5 units/hour and Machine B produces 3 units/hour, together they produce 8 units/hour. To find time for a task, divide the total work by the combined rate. This also applies to pipes filling tanks or people completing tasks.

Combined Rate = Rate A + Rate B. Time = Total Work / Combined Rate

A makes 4/hr, B makes 6/hr → Together 10/hr → 50 units take 5 hours
Pipe A fills in 6 hrs, B in 3 hrs → Rates: 1/6 + 1/3 = 1/2 → Together: 2 hours
Worker A: 8 items/day, B: 12 items/day → 100 items = 100/20 = 5 days together

Πώς να το αναγνωρίζετε

Multiple workers/machines working simultaneously
Individual rates are given (units per time)
Asked for time when working together

Συνηθισμένα λάθη

Averaging rates instead of adding them
Adding times instead of rates (if A takes 2hr and B takes 3hr, together is NOT 5hr)
Forgetting to convert to consistent rate units

Λύση βήμα προς βήμα

Ο σωλήνας Α γεμίζει μια δεξαμενή σε 4 ώρες. Ο σωλήνας Β σε 6 ώρες. Πόσο διαρκεί μαζί;

Υπολογίστε τον ρυθμό σωλήνα Α: 1 δεξαμενή / 4 ώρες = 1/4 ανά ώρα
Υπολογίστε τον ρυθμό σωλήνα Β: 1 δεξαμενή / 6 ώρες = 1/6 ανά ώρα
Αθροίστε τους ρυθμούς: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 ανά ώρα
Υπολογίστε τον χρόνο: 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 ώρες

Απάντηση: 2.4 hours (or 2 hours 24 minutes)

Μάθηση 10

Μέσος Όρος με Ελλείπουσα Τιμή

Δεδομένου ενός στόχου μέσου όρου και όλων των τιμών εκτός μιας, υπολογίστε τη λείπουσα τιμή.

Αν ο αριθμητικός μέσος n τιμών πρέπει να είναι M, το συνολικό άθροισμα πρέπει να είναι n · M. Για να βρείτε τη λείπουσα τιμή, υπολογίστε το απαιτούμενο άθροισμα και αφαιρέστε το άθροισμα των γνωστών: λείπουσα = n · M − Σ(γνωστά).

λείπουσα = n · M − Σ(γνωστές τιμές)

Τέσσερις βαθμοί με μέσο όρο 80· τρεις είναι 75, 82, 78 → λείπουσα = 85
Πωλήσεις πέντε μηνών με μέσο 10.000 $· τέσσερις 38.500 $ → λείπουσα = 11.500 $
Έξι μετρήσεις με μέσο 12,5· πέντε 70 → λείπουσα = 5

Πώς να το αναγνωρίζετε

Δίνεται μέσος όρος αλλά λείπει μία τιμή
Λέξεις-κλειδιά: «μέσος στόχος», «πρέπει να έχει μέσο όρο»
Το πλήθος n είναι γνωστό

Συνηθισμένα λάθη

Παράλειψη πολλαπλασιασμού του μέσου με n
Λάθος φορά αφαίρεσης
Χρήση n − 1 αντί n

Μάθηση 11

Συνδυασμοί

Το πλήθος των τρόπων επιλογής k στοιχείων από n χωρίς να ληφθεί υπόψη η σειρά.

Το πλήθος των συνδυασμών C(n, k) μετρά τις μη ταξινομημένες επιλογές k στοιχείων από n διακριτά. Ισούται με τον διωνυμικό συντελεστή n! / (k! · (n − k)!). Σε αντίθεση με τις μεταθέσεις: C(n, k) = P(n, k) / k!. Συμμετρία: C(n, k) = C(n, n − k).

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

C(5, 2) = 10
C(10, 3) = 120
C(52, 5) = 2.598.960 (χέρια πόκερ)

Πώς να το αναγνωρίζετε

Ερώτηση: «με πόσους τρόπους» χωρίς σειρά
Λέξεις-κλειδιά: «επιλέγω», «επιτροπή», «ομάδα»
Αν η αναδιάταξη δίνει την ίδια επιλογή, συνδυασμοί

Συνηθισμένα λάθη

Χρήση μεταθέσεων ενώ η σειρά δεν μετρά
Παράλειψη k! στον παρονομαστή
Σύγχυση C(n, k) με n · k ή n^k

Μάθηση 12

Ανατοκισμός

Τόκος που υπολογίζεται επί του κεφαλαίου και επί των τόκων που έχουν ήδη συσσωρευτεί, με γεωμετρική αύξηση.

Ο ανατοκισμός προσθέτει τους τόκους στο κεφάλαιο στο τέλος κάθε περιόδου, ώστε η επόμενη περίοδος να αποδίδει τόκους επί του μεγαλύτερου ποσού. Με κεφάλαιο P, ετήσιο επιτόκιο r, n κεφαλαιοποιήσεις ανά έτος και χρόνο t σε έτη: A = P · (1 + r/n)^(n·t). Γεωμετρική αύξηση.

A = P · (1 + r/n)^(n·t)

1.000 $ με 5% ετησίως για 3 έτη → A ≈ 1.157,63 $
500 € με 4% ανά τρίμηνο για 2 έτη → A ≈ 541,43 €
2.000 $ με 6% μηνιαία για 1 έτος → A ≈ 2.123,36 $

Πώς να το αναγνωρίζετε

Λέξεις-κλειδιά: «ανατοκισμός», «μηνιαία/ετήσια κεφαλαιοποίηση»
Πολλαπλασιαστική αύξηση ανά περίοδο
Το υπόλοιπο επιταχύνεται με τον χρόνο

Συνηθισμένα λάθη

Χρήση απλού τόκου
Παράλειψη διαίρεσης του επιτοκίου με n
Χρήση n αντί n·t στον εκθέτη

Μάθηση 13

Μετατροπή Νομίσματος

Μετατροπή ποσού από ένα νόμισμα σε άλλο πολλαπλασιάζοντας με την ισοτιμία.

Η ισοτιμία εκφράζει πόσο από το νόμισμα B παίρνεις ανά μονάδα του νομίσματος A. Για μετατροπή ποσού X από A σε B, πολλαπλασιάζεις με την ισοτιμία: X_B = X_A · ισοτιμία(A→B). Η αντίστροφη είναι 1 / ισοτιμία(A→B). Για μη άμεσα ζεύγη: ισοτιμία(A→C) = ισοτιμία(A→B) · ισοτιμία(B→C).

X_B = X_A · ισοτιμία(A→B)

100 USD σε EUR με 1 USD = 0,85 EUR → 85 EUR
500 EUR σε USD → 500 / 0,85 ≈ 588,24 USD
USD → GBP μέσω EUR: 100 · 0,85 · 0,86 = 73 GBP

Πώς να το αναγνωρίζετε

Το πρόβλημα αναφέρει νομίσματα ή ισοτιμίες
Δίνεται ισοτιμία όπως «1 USD = 0,85 EUR»
Ενίοτε απαιτείται αντιστροφή ή αλυσίδωση

Συνηθισμένα λάθη

Αντιστροφή κατεύθυνσης ισοτιμίας
Πολλαπλασιασμός αντί διαίρεσης
Πρώιμη στρογγυλοποίηση

Μάθηση 14

Πρόβλημα Μείγματος

Υπολογισμός της συγκέντρωσης ενός μείγματος από τις συγκεντρώσεις και τις ποσότητες των συστατικών του.

Όταν συνδυάζονται δύο διαλύματα με όγκους V_1 και V_2 και συγκεντρώσεις c_1 και c_2, το μείγμα έχει όγκο V_1 + V_2 και συγκέντρωση c_τελ = (c_1 · V_1 + c_2 · V_2) / (V_1 + V_2). Είναι μέσος όρος σταθμισμένος κατά όγκο, επεκτείνεται σε περισσότερα συστατικά.

c_τελ = Σ(c_i · V_i) / Σ V_i

2 L στο 10% με 3 L στο 20% → c = 16%
500 g κράματος 40% με 300 g 60% → c ≈ 47,5%
1 L στο 25% αραιωμένο με 3 L νερό → c = 6,25%

Πώς να το αναγνωρίζετε

Δύο ή περισσότερες ποσότητες με διαφορετικές συγκεντρώσεις συνδυάζονται
Λέξεις-κλειδιά: «μείγμα», «αραίωση», «κράμα», «διάλυμα»
Ζητείται η τελική συγκέντρωση ή η απαιτούμενη ποσότητα

Συνηθισμένα λάθη

Άμεσος μέσος όρος συγκεντρώσεων χωρίς στάθμιση
Παράλειψη ότι ο καθαρός διαλύτης έχει συγκέντρωση 0
Μείξη μονάδων

Μάθηση 15

Πιθανότητα

Η πιθανότητα ενός γεγονότος, εκφρασμένη ως αριθμός μεταξύ 0 (αδύνατο) και 1 (βέβαιο).

Για έναν πεπερασμένο δειγματικό χώρο με ισοπίθανα αποτελέσματα, η πιθανότητα ενός γεγονότος E είναι P(E) = |E| / |S|. Ικανοποιεί τα αξιώματα Kolmogorov: 0 ≤ P(E) ≤ 1, P(χώρου) = 1 και για ασυμβίβαστα γεγονότα P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Για ανεξάρτητα γεγονότα, P(A και B) = P(A) · P(B). Κανόνας συμπληρώματος: P(όχι E) = 1 − P(E).

P(E) = ευνοϊκές περιπτώσεις / σύνολο· 0 ≤ P(E) ≤ 1

Αποτέλεσμα 6 σε δίκαιο ζάρι → P = 1/6
Τραβώ άσο από 52 φύλλα → P = 4/52 = 1/13
Δύο κορώνες στη σειρά → P = 1/4

Πώς να το αναγνωρίζετε

Η ερώτηση αφορά πιθανότητα
Περιγράφεται ισοπίθανος δειγματικός χώρος
Συνδυασμοί με «και» (πολλαπλασιασμός αν ανεξάρτητα) ή «ή» (άθροιση αν ασυμβίβαστα)

Συνηθισμένα λάθη

Άθροιση πιθανοτήτων χωρίς αφαίρεση επικάλυψης
Πολλαπλασιασμός μη ανεξάρτητων γεγονότων
Παράλειψη κανόνα συμπληρώματος

Μάθηση 16

Απλός Τόκος

Τόκος που υπολογίζεται μόνο επί του αρχικού κεφαλαίου και αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο.

Ο απλός τόκος υπολογίζεται ως σταθερό ποσοστό επί του αρχικού κεφαλαίου για κάθε περίοδο, χωρίς ανατοκισμό. Με κεφάλαιο P, ετήσιο επιτόκιο r (δεκαδικό) και χρόνο t σε έτη: τόκος I = P · r · t και τελικό ποσό A = P · (1 + r · t). Γραμμική αύξηση.

I = P · r · t· A = P · (1 + r · t)

1.000 $ με 5% για 3 έτη → I = 150 $· A = 1.150 $
500 € με 4% για 2 έτη → I = 40 €· A = 540 €
2.000 £ με 6% για 6 μήνες → I = 60 £

Πώς να το αναγνωρίζετε

Το πρόβλημα αναφέρει «απλός τόκος»
Ο τόκος είναι ο ίδιος κάθε περίοδο
Το επιτόκιο πολλαπλασιάζεται με τον χρόνο

Συνηθισμένα λάθη

Χρήση τύπου ανατοκισμού
Παράλειψη μετατροπής ποσοστού σε δεκαδικό
Μείξη μονάδων χρόνου

Μάθηση 17

Ταχύτητα, Απόσταση και Χρόνος

Χρήση της σχέσης ταχύτητα = απόσταση ÷ χρόνος για τον υπολογισμό οποιασδήποτε από τις τρεις ποσότητες.

Σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα, οι ποσότητες απόσταση d, ταχύτητα v και χρόνος t συνδέονται με d = v · t, άρα v = d / t και t = d / v. Όταν η ταχύτητα αλλάζει σε τμήματα, η μέση ταχύτητα είναι συνολική απόσταση / συνολικός χρόνος. Οι μονάδες πρέπει να είναι συμβατές.

d = v · t· v = d / t· t = d / v

Ένα αυτοκίνητο διανύει 60 km σε 1,5 h → 40 km/h
5 km με 4 km/h διαρκούν 1,25 h
Τμήμα 1: 30 km με 60 km/h· τμήμα 2: 30 km με 30 km/h → μέση = 40 km/h

Πώς να το αναγνωρίζετε

Το πρόβλημα αναφέρει απόσταση, ταχύτητα ή χρόνο
Ζητείται η τρίτη ποσότητα
Ταξίδια με πολλά τμήματα απαιτούν συνολική απόσταση και συνολικό χρόνο

Συνηθισμένα λάθη

Άμεσος μέσος όρος ταχυτήτων
Μείξη μονάδων
Υπολογισμός v = t / d

Μάθηση 18

Σταθμισμένος Μέσος Όρος

Ένας μέσος όρος στον οποίο κάθε τιμή συνεισφέρει σύμφωνα με το βάρος της και όχι ισότιμα.

Ο σταθμισμένος μέσος όρος των τιμών x_1, ..., x_n με βάρη w_1, ..., w_n είναι x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i. Με ίσα βάρη ανάγεται στον συνήθη αριθμητικό μέσο. Είναι το σωστό εργαλείο όταν οι τιμές έχουν διαφορετική σημασία, μέγεθος δείγματος ή συχνότητα.

x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i

Βαθμοί: τάξη A 80 (20 μαθητές), τάξη B 70 (30 μαθητές) → σταθμισμένος = (20·80 + 30·70)/50 = 74
Μέσος όρος σπουδών με βάρη τις διδακτικές μονάδες
Απόδοση χαρτοφυλακίου με βάρη τα επενδυμένα ποσά

Πώς να το αναγνωρίζετε

Οι τιμές έχουν διαφορετικό μέγεθος δείγματος, σημασία ή συχνότητα
Λέξεις-κλειδιά: «σταθμισμένος», «κατά μονάδες», «ανά μονάδα»
Ίσα βάρη → κοινός μέσος· άνισα → σταθμισμένος

Συνηθισμένα λάθη

Λήψη απλού μέσου όταν τα βάρη διαφέρουν
Παράλειψη διαίρεσης με το άθροισμα των βαρών
Εναλλαγή τιμών και βαρών

Λυμένα παραδείγματα

Τα λυμένα παραδείγματα διατηρούν το αρχικό σύνολο ασκήσεων σε κάθε δυσκολία. Ανοίξτε ένα για να δείτε την εκφώνηση, τις επιλογές, τη σωστή απάντηση και την επεξήγηση.

Παράδειγμα

Επεξήγηση

Πίσω στο Αριθμητική Συλλογιστική