Finding a percentage of a number is one of the most fundamental numerical operations. To find X% of Y, multiply Y by X and divide by 100, or equivalently, multiply Y by the decimal form of X (X/100). This skill is essential for calculating discounts, tips, taxes, and portions.

X% of Y = Y × (X/100) = Y × 0.0X

What is 25% of 80? → 80 × 0.25 = 20
What is 15% of 200? → 200 × 0.15 = 30
What is 40% of 150? → 150 × 0.40 = 60

So erkennen Sie es

Look for 'what is X% of Y' phrasing
Convert the percentage to decimal (divide by 100)
Multiply the base number by the decimal

Häufige Fehler

Forgetting to divide the percentage by 100
Multiplying by the percentage directly (25 instead of 0.25)
Confusing 'of' with 'off' (discount calculations)

Schritt-für-Schritt-Lösung

Was sind 15% von 80?

Wandle den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um: 15/100 = 0,15
Multipliziere die Basiszahl mit der Dezimalzahl: 80 x 0,15
Berechne: 80 x 0,15 = 12

Antwort: 12

Lernen 2

Umgekehrte Prozentrechnung

Den ursprünglichen Wert vor einer prozentualen Änderung ermitteln.

Reverse percentage problems ask you to work backwards from a final value to find the original. If something increased by X%, the final value equals the original times (1 + X/100). To find the original, divide the final value by this multiplier. This is trickier than forward percentages because you can't simply subtract the percentage.

If Final = Original × (1 + X/100), then Original = Final ÷ (1 + X/100)

After a 20% increase, a price is $120. Original = $120 ÷ 1.20 = $100
After a 25% discount, a price is $60. Original = $60 ÷ 0.75 = $80
After a 10% raise, salary is $55,000. Original = $55,000 ÷ 1.10 = $50,000

So erkennen Sie es

You're given the final value after a percentage change
You need to find what the value was before the change
Keywords: 'original price', 'was before', 'started at'

Häufige Fehler

Subtracting the percentage from the final (e.g., $120 - 20% = $96, wrong!)
Using the wrong multiplier (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)
Confusing increase (multiply by >1) with decrease (multiply by <1)

Schritt-für-Schritt-Lösung

Nach einer Erhöhung von 25 % beträgt ein Preis 150 $. Was war der Originalpreis?

Identifiziere den Multiplikator für 25 % Erhöhung: 1 + 25/100 = 1,25
Stelle die Gleichung auf: Original x 1,25 = 150 $
Teile den Endwert durch den Multiplikator: 150 $ / 1,25
Berechne: 150 $ / 1,25 = 120 $

Antwort: $120

Lernen 3

Prozentuale Änderung

Das Ergebnis nach Erhöhung oder Verringerung eines Wertes um einen Prozentsatz berechnen.

Percentage change problems involve applying an increase or decrease to a starting value. For an increase of X%, multiply by (1 + X/100). For a decrease of X%, multiply by (1 - X/100). This is more direct than reverse percentage since you're moving forward from the original to the final value.

Increase: Final = Original × (1 + X/100). Decrease: Final = Original × (1 - X/100)

100 increased by 20% = 100 × 1.20 = 120
80 decreased by 25% = 80 × 0.75 = 60
150 increased by 10% = 150 × 1.10 = 165

So erkennen Sie es

Given a starting value and a percentage change
Asked for the new/final value
Keywords: 'increases by', 'decreases by', 'goes up', 'goes down'

Häufige Fehler

Adding/subtracting the percentage instead of using a multiplier
Confusing 'increased by 20%' with 'increased to 120%'
Using the wrong direction (1.20 for increase, 0.80 for 20% decrease)

Schritt-für-Schritt-Lösung

Ein Hemd kostet 60 $. Es gibt 30 % Rabatt. Was ist der Salepreis?

Identifiziere dies als prozentuale Verringerung: 30 % Rabatt
Berechne den Multiplikator: 1 - 30/100 = 0,70
Multipliziere den Originalpreis mit dem Multiplikator: 60 $ x 0,70
Berechne: 60 $ x 0,70 = 42 $

Antwort: $42

Lernen 4

Einfaches Verhältnis

Unbekannte Werte finden, wenn zwei Größen in einem gegebenen Verhältnis stehen.

Ratio problems express a relationship between two quantities. If A:B = 2:3 and you know A=10, you can find B by first finding the multiplier (10÷2=5) and then applying it to the other part (3×5=15). The ratio tells you the relative sizes, and the multiplier scales it to actual values.

If A:B = m:n and A = x, then B = x × (n/m)

If A:B = 2:3 and A = 10, then B = 10 × (3/2) = 15
If X:Y = 3:4 and Y = 20, then X = 20 × (3/4) = 15
If P:Q = 5:2 and P = 35, then Q = 35 × (2/5) = 14

So erkennen Sie es

Two quantities described as 'in the ratio' of X:Y
One value is given, the other is unknown
Find the multiplier by dividing the known value by its ratio part

Häufige Fehler

Dividing by the wrong ratio part
Confusing which value corresponds to which part of the ratio
Adding/subtracting instead of multiplying

Schritt-für-Schritt-Lösung

Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen in einer Klasse ist 3:5. Wenn es 12 Jungen gibt, wie viele Mädchen gibt es?

Identifiziere die Verhältnisteile: Jungen = 3, Mädchen = 5
Finde den Multiplikator: 12 Jungen / 3 Teile = 4
Wende den Multiplikator auf Mädchen an: 5 Teile x 4
Berechne: 5 x 4 = 20 Mädchen

Antwort: 20 girls

Lernen 5

Verhältnisteilung

Einen Gesamtbetrag gemäß einem gegebenen Verhältnis aufteilen.

Ratio division problems ask you to split a total into parts according to a ratio. First, add the ratio parts to find the total number of 'shares'. Then divide the total amount by this number to find the value of one share. Finally, multiply by each ratio part to get the actual amounts.

Total T split in ratio a:b → Part A = T × a/(a+b), Part B = T × b/(a+b)

Split $100 in ratio 3:2 → Shares = 5, each share = $20 → Parts are $60 and $40
Divide 45 items in ratio 4:5 → Shares = 9, each = 5 → Parts are 20 and 25
Split 120 in ratio 1:2:3 → Shares = 6, each = 20 → Parts are 20, 40, and 60

So erkennen Sie es

A total amount needs to be divided
The division follows a specified ratio
Add ratio parts first to find total shares

Häufige Fehler

Forgetting to add ratio parts to find total shares
Dividing by only one ratio part instead of the sum
Mixing up which part corresponds to which share

Schritt-für-Schritt-Lösung

Teile 180 $ zwischen zwei Personen im Verhältnis 2:7 auf.

Addiere die Verhältnisteile: 2 + 7 = 9
Finde den Wert eines Teils: 180 $ / 9 = 20 $
Berechne den Anteil der ersten Person: 2 x 20 $ = 40 $
Berechne den Anteil der zweiten Person: 7 x 20 $ = 140 $

Antwort: $40 and $140

Lernen 6

Arbeitsleistungsprobleme

Zeit oder Arbeiter berechnen, wenn die Gesamtarbeit konstant bleibt.

Work rate problems are based on the formula: Work = Rate × Time, or equivalently, Work = Workers × Days. If the total work is constant, increasing workers decreases time proportionally. The key insight is that 'worker-days' (or 'machine-hours') represents the total work, and this stays the same regardless of how many workers do the job.

Total Work = Workers × Time. If W1 × T1 = W2 × T2, then T2 = (W1 × T1) / W2

4 workers in 12 days = 48 worker-days. 6 workers = 48 ÷ 6 = 8 days
3 machines in 10 hours = 30 machine-hours. 5 machines = 30 ÷ 5 = 6 hours
2 people in 15 days = 30 person-days. 5 people = 30 ÷ 5 = 6 days

So erkennen Sie es

Problem mentions workers/machines and time to complete a job
Asks how long with different number of workers
Total work (job size) remains constant

Häufige Fehler

Thinking more workers means more time (it's inverse)
Adding workers instead of multiplying
Forgetting that work = workers × time

Schritt-für-Schritt-Lösung

5 Arbeiter schaffen ein Projekt in 12 Tagen. Wie viele Tage brauchen 10 Arbeiter?

Berechne die Gesamtarbeit: 5 Arbeiter x 12 Tage = 60 Arbeitertage
Die Gesamtarbeit bleibt bei 60 Arbeitertagen konstant
Teile durch die neue Arbeiterzahl: 60 / 10
Berechne: 60 / 10 = 6 Tage

Antwort: 6 days

Lernen 7

Gewinnberechnung

Gewinn, Einkaufs- oder Verkaufspreis aus gegebenen Werten berechnen.

Profit calculations involve three key values: cost price (what you paid), selling price (what you sold for), and profit (the difference). Profit = Selling Price - Cost Price. Profit margin as a percentage is calculated relative to the cost price: Profit % = (Profit / Cost) × 100.

Profit = Selling Price - Cost Price. Profit % = (Profit / Cost) × 100

Buy at $80, sell at $100 → Profit = $20, Margin = 20/80 × 100 = 25%
Cost $50, 40% markup → Selling = $50 × 1.40 = $70, Profit = $20
Sold at $90 with $18 profit → Cost = $90 - $18 = $72

So erkennen Sie es

Problem mentions cost, selling price, or profit
May ask for profit amount or profit percentage
Markup problems are percentage-based profit calculations

Häufige Fehler

Confusing profit margin with markup
Calculating percentage based on selling price instead of cost
Mixing up which value to subtract from which

Schritt-für-Schritt-Lösung

Ein Geschäft kauft einen Artikel für 60 $ und verkauft ihn für 75 $. Wie hoch ist die Gewinnmarge?

Berechne den Gewinn: Verkaufspreis - Einkaufspreis = 75 $ - 60 $ = 15 $
Teile den Gewinn durch den Einkaufspreis: 15 $ / 60 $
Wandle in Prozent um: (15 $ / 60 $) x 100
Berechne: 0,25 x 100 = 25 %

Antwort: 25%

Lernen 8

Zusammengesetzter Prozentsatz

Das Ergebnis mehrerer aufeinanderfolgender prozentualer Änderungen berechnen.

Compound percentage problems involve applying multiple percentage changes one after another. Each change is applied to the result of the previous change, not the original value. A 10% increase followed by a 10% increase is NOT a 20% total increase—it's 1.10 × 1.10 = 1.21, or 21%.

After changes of X% then Y%: Final = Original × (1 + X/100) × (1 + Y/100)

100 increased by 10% then 20%: 100 × 1.10 × 1.20 = 132 (not 130)
200 up 25% then down 20%: 200 × 1.25 × 0.80 = 200 (back to start)
Price up 50% then down 50%: Not zero! 100 × 1.50 × 0.50 = 75

So erkennen Sie es

Multiple percentage changes applied in sequence
Each change applies to the result of the previous
Keywords: 'then', 'followed by', 'successive'

Häufige Fehler

Adding percentages together (10% + 20% = 30%, wrong!)
Thinking opposite changes cancel out (up 50%, down 50% ≠ original)
Applying both percentages to the original value

Schritt-für-Schritt-Lösung

Ein Preis von 200 $ steigt um 20 %, dann sinkt er um 10 %. Was ist der Endpreis?

Berechne den Multiplikator für 20 % Erhöhung: 1 + 0,20 = 1,20
Berechne den Multiplikator für 10 % Verringerung: 1 - 0,10 = 0,90
Wende beide Multiplikatoren an: 200 $ x 1,20 x 0,90
Berechne: 200 $ x 1,20 = 240 $, dann 240 $ x 0,90 = 216 $

Antwort: $216

Lernen 9

Kombinierte Raten

Berechnen, wie lange Aufgaben dauern, wenn mehrere Arbeiter oder Maschinen zusammenarbeiten.

When multiple workers or machines work together, their rates add up. If Machine A produces 5 units/hour and Machine B produces 3 units/hour, together they produce 8 units/hour. To find time for a task, divide the total work by the combined rate. This also applies to pipes filling tanks or people completing tasks.

Combined Rate = Rate A + Rate B. Time = Total Work / Combined Rate

A makes 4/hr, B makes 6/hr → Together 10/hr → 50 units take 5 hours
Pipe A fills in 6 hrs, B in 3 hrs → Rates: 1/6 + 1/3 = 1/2 → Together: 2 hours
Worker A: 8 items/day, B: 12 items/day → 100 items = 100/20 = 5 days together

So erkennen Sie es

Multiple workers/machines working simultaneously
Individual rates are given (units per time)
Asked for time when working together

Häufige Fehler

Averaging rates instead of adding them
Adding times instead of rates (if A takes 2hr and B takes 3hr, together is NOT 5hr)
Forgetting to convert to consistent rate units

Schritt-für-Schritt-Lösung

Rohr A füllt einen Tank in 4 Stunden. Rohr B in 6 Stunden. Wie lange dauert es zusammen?

Berechne die Rate von Rohr A: 1 Tank / 4 Stunden = 1/4 pro Stunde
Berechne die Rate von Rohr B: 1 Tank / 6 Stunden = 1/6 pro Stunde
Addiere die Raten: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 pro Stunde
Berechne die Zeit: 1 / (5/12) = 12/5 = 2,4 Stunden

Antwort: 2.4 hours (or 2 hours 24 minutes)

Lernen 10

Mittelwert mit einem fehlenden Wert

Den fehlenden Wert bestimmen, wenn ein Zielmittelwert und alle anderen Werte gegeben sind.

Wenn das arithmetische Mittel von n Werten gleich M sein muss, ist die Gesamtsumme gleich n · M. Um einen fehlenden Wert zu finden, berechne die erforderliche Summe und ziehe die Summe der bekannten Werte ab: fehlend = n · M − Σ(bekannt). Anwendbar, wenn ein Wert unbekannt und ein Ziel-Mittelwert gegeben ist.

fehlend = n · M − Σ(bekannte Werte)

Vier Noten mit Mittelwert 80; drei sind 75, 82, 78 → fehlend = 85
Verkäufe von fünf Monaten, Ziel-Mittelwert 10.000 $; vier ergeben 38.500 $ → fehlend = 11.500 $
Sechs Messungen mit Mittelwert 12,5; fünf ergeben 70 → fehlend = 5

So erkennen Sie es

Ein Mittelwert ist gegeben, aber ein Wert fehlt
Signalwörter: „Zieldurchschnitt", „muss ergeben"
Die Anzahl n ist bekannt

Häufige Fehler

Vergessen, den Mittelwert mit n zu multiplizieren
Falsche Subtraktionsrichtung
n − 1 statt n verwenden

Lernen 11

Kombinationen

Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen.

Die Anzahl der Kombinationen C(n, k) zählt die ungeordneten Auswahlen von k Elementen aus n verschiedenen. Sie entspricht dem Binomialkoeffizienten n! / (k! · (n − k)!). Im Gegensatz zu Permutationen: C(n, k) = P(n, k) / k!. Symmetrie: C(n, k) = C(n, n − k).

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

C(5, 2) = 10
C(10, 3) = 120
C(52, 5) = 2.598.960 (Poker-Blätter)

So erkennen Sie es

Frage: „wie viele Möglichkeiten" ohne Reihenfolge
Signalwörter: „auswählen", „Komitee", „Team"
Wenn Umordnen dieselbe Auswahl liefert, Kombinationen

Häufige Fehler

Permutationen verwenden, wenn Reihenfolge egal ist
k! im Nenner vergessen
C(n, k) mit n · k oder n^k verwechseln

Lernen 12

Zinseszins

Zinsen, die auf das Kapital und auf bereits angefallene Zinsen berechnet werden, mit geometrischem Wachstum.

Zinseszinsen addieren die Zinsen am Ende jeder Zinsperiode zum Kapital, sodass die nächste Periode Zinsen auf den größeren Betrag liefert. Mit Kapital P, Jahreszinssatz r, n Kapitalisierungen pro Jahr und Zeit t in Jahren: A = P · (1 + r/n)^(n·t). Geometrisches Wachstum.

A = P · (1 + r/n)^(n·t)

1.000 € zu 5% jährlich für 3 Jahre → A ≈ 1.157,63 €
500 € zu 4% vierteljährlich für 2 Jahre → A ≈ 541,43 €
2.000 € zu 6% monatlich für 1 Jahr → A ≈ 2.123,36 €

So erkennen Sie es

Signalwörter: „Zinseszins", „monatlich/jährlich verzinst"
Wachstum pro Periode multiplikativ
Der Saldo wächst beschleunigt

Häufige Fehler

Einfache Zinsen verwenden
Vergessen, den Zinssatz durch n zu teilen
n statt n·t im Exponenten

Lernen 13

Währungsumrechnung

Einen Betrag von einer Währung in eine andere durch Multiplikation mit dem Wechselkurs umrechnen.

Ein Wechselkurs gibt an, wie viel von Währung B pro Einheit Währung A gewechselt wird. Um einen Betrag X von A nach B umzurechnen, mit dem Kurs multiplizieren: X_B = X_A · Kurs(A→B). Der Kehrwert ist 1 / Kurs(A→B). Bei indirekten Paaren: Kurs(A→C) = Kurs(A→B) · Kurs(B→C).

X_B = X_A · Kurs(A→B); Kurs(B→A) = 1 / Kurs(A→B)

100 USD in EUR bei 1 USD = 0,85 EUR → 85 EUR
500 EUR in USD → 500 / 0,85 ≈ 588,24 USD
USD → GBP via EUR: 100 · 0,85 · 0,86 = 73 GBP

So erkennen Sie es

Die Aufgabe nennt Währungen oder Wechselkurse
Ein Kurs wie „1 USD = 0,85 EUR" ist gegeben
Manchmal muss umgekehrt oder verkettet werden

Häufige Fehler

Richtung des Kurses vertauschen
Multiplizieren statt dividieren
Zu früh runden

Lernen 14

Mischungsaufgabe

Die Konzentration einer kombinierten Mischung aus den Konzentrationen und Mengen der Bestandteile berechnen.

Werden zwei Lösungen mit Volumina V_1 und V_2 und Konzentrationen c_1 und c_2 kombiniert, hat die Mischung das Volumen V_1 + V_2 und die Konzentration c_final = (c_1 · V_1 + c_2 · V_2) / (V_1 + V_2). Ein gewichteter Mittelwert nach Volumen, auf mehrere Komponenten erweiterbar.

c_final = Σ(c_i · V_i) / Σ V_i

2 L mit 10% und 3 L mit 20% → c = 16%
500 g Legierung mit 40% und 300 g mit 60% → c ≈ 47,5%
1 L mit 25% und 3 L Wasser → c = 6,25%

So erkennen Sie es

Mehrere Mengen mit unterschiedlichen Konzentrationen werden kombiniert
Signalwörter: „Mischung", „Verdünnung", „Legierung"
Gesucht ist die Endkonzentration oder eine erforderliche Menge

Häufige Fehler

Konzentrationen direkt mitteln ohne Volumengewichtung
Vergessen, dass reines Lösungsmittel Konzentration 0 hat
Einheiten mischen

Lernen 15

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, ausgedrückt als Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).

Für einen endlichen Ergebnisraum mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E gleich P(E) = |E| / |S|. Es gelten die Kolmogorov-Axiome: 0 ≤ P(E) ≤ 1, P(Raum) = 1 und für disjunkte Ereignisse P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Für unabhängige Ereignisse P(A und B) = P(A) · P(B). Komplementregel: P(nicht E) = 1 − P(E).

P(E) = günstige Fälle / alle Fälle; 0 ≤ P(E) ≤ 1

Eine 6 mit einem fairen Würfel → P = 1/6
Ein Ass aus 52 Karten → P = 4/52 = 1/13
Zweimal Kopf mit einer Münze → P = 1/4

So erkennen Sie es

Die Frage fragt nach Wahrscheinlichkeit oder Chance
Ein gleichwahrscheinlicher Ergebnisraum ist beschrieben
Kombinationen mit „und" (multiplizieren, falls unabhängig) oder „oder" (addieren, falls disjunkt)

Häufige Fehler

Wahrscheinlichkeiten addieren, ohne Überlappung abzuziehen
Nicht unabhängige Ereignisse multiplizieren
Komplementregel vergessen

Lernen 16

Einfache Zinsen

Zinsen, die nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet werden und linear mit der Zeit wachsen.

Einfache Zinsen werden als fester Prozentsatz auf das Anfangskapital pro Periode berechnet, ohne Zinseszins. Mit Kapital P, Jahreszinssatz r (dezimal) und Zeit t (Jahre) gilt Zinsen I = P · r · t und Endbetrag A = P · (1 + r · t). Linear wachsend.

I = P · r · t; A = P · (1 + r · t)

1.000 € zu 5% für 3 Jahre → I = 150 €; A = 1.150 €
500 € zu 4% für 2 Jahre → I = 40 €; A = 540 €
2.000 € zu 6% für 6 Monate → I = 60 €

So erkennen Sie es

Die Aufgabe nennt „einfache Zinsen"
Zinsen sind in jeder Periode gleich
Zinssatz wird mit Zeit multipliziert

Häufige Fehler

Zinseszinsformel verwenden
Prozentsätze nicht in Dezimalzahlen umrechnen
Zeiteinheiten mischen

Lernen 17

Geschwindigkeit, Entfernung und Zeit

Mit der Beziehung Geschwindigkeit = Strecke ÷ Zeit jede der drei Größen berechnen.

Bei konstanter Geschwindigkeit sind die drei Größen Strecke d, Geschwindigkeit v und Zeit t verbunden durch d = v · t, woraus v = d / t und t = d / v folgen. Bei wechselnder Geschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit gesamt = Gesamtstrecke / Gesamtzeit. Einheiten müssen konsistent sein.

d = v · t; v = d / t; t = d / v

Ein Auto, das 60 km in 1,5 h zurücklegt, fährt 40 km/h
5 km bei 4 km/h dauern 1,25 h
Abschnitt 1: 30 km bei 60 km/h; Abschnitt 2: 30 km bei 30 km/h → Durchschnitt = 40 km/h

So erkennen Sie es

Die Aufgabe erwähnt Strecke, Geschwindigkeit oder Zeit
Die dritte Größe ist gesucht
Mehrere Abschnitte erfordern Gesamtstrecke und Gesamtzeit

Häufige Fehler

Geschwindigkeiten direkt mitteln
Einheiten mischen
v = t / d berechnen

Lernen 18

Gewichteter Mittelwert

Ein Mittelwert, bei dem jeder Wert entsprechend seinem Gewicht und nicht gleichmäßig beiträgt.

Der gewichtete Mittelwert der Werte x_1, ..., x_n mit Gewichten w_1, ..., w_n ist x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i. Bei gleichen Gewichten reduziert er sich auf den arithmetischen Mittelwert. Er ist das richtige Werkzeug, wenn Werte unterschiedliche Bedeutung, Stichprobengröße oder Häufigkeit haben.

x̄ = Σ(w_i · x_i) / Σ w_i

Noten: Klasse A 80 (20 Schüler), Klasse B 70 (30 Schüler) → gewichtet = (20·80 + 30·70)/50 = 74
Notendurchschnitt: A (3 Credits), B (4 Credits), C (2 Credits)
Portfoliorendite: Investitionen nach investiertem Betrag gewichtet

So erkennen Sie es

Werte haben unterschiedliche Stichprobengrößen, Bedeutung oder Häufigkeit
Schlüsselwörter: „gewichtet", „nach Credits", „pro Einheit"
Gleiche Gewichte → normaler Mittelwert; ungleiche → gewichtet

Häufige Fehler

Einfaches Mittel nehmen, obwohl Gewichte unterschiedlich sind
Vergessen, durch die Summe der Gewichte zu dividieren
Werte und Gewichte vertauschen

Lösungsbeispiele

Die Lösungsbeispiele enthalten den ursprünglichen Übungssatz für jede Stufe. Öffnen Sie ein Beispiel, um Aufgabe, Optionen, richtige Antwort und Erklärung zu vergleichen.

Beispiel

Erklärung

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